《2025年启航新课堂八年级数学上册人教版》

例2 如图，已知$DE\perp AC$于点$E$，$BF\perp AC$于点$F$，$AD=BC$，$DE=BF$. 求证：

(1)$\triangle AED\cong \triangle CFB$；
证明：因为$DE\perp AC$，$BF\perp AC$，所以$\angle AED = \angle CFB = 90^{\circ}$，又因为$AD = BC$，$DE = BF$，所以$\triangle AED\cong \triangle CFB$(HL).
(2)$AB// DC$.
证明：因为$\triangle AED\cong \triangle CFB$，所以$\angle DAE = \angle BCF$，所以$AB// DC$.

答案： 【解析】：1. 对于（1），要证明$\triangle AED\cong \triangle CFB$，已知$DE\perp AC$，$BF\perp AC$，根据垂直的定义可得$\angle AED = \angle CFB = 90^{\circ}$。在$\triangle AED$和$\triangle CFB$中，$AD = BC$，$DE = BF$，$\angle AED = \angle CFB$，根据“斜边、直角边”（HL）定理可判定$\triangle AED\cong \triangle CFB$。
2. 对于（2），由（1）中$\triangle AED\cong \triangle CFB$，根据全等三角形的性质可得$\angle DAE = \angle BCF$，内错角相等，两直线平行，所以$AB// DC$。
【答案】：1. 因为$DE\perp AC$，$BF\perp AC$，所以$\angle AED = \angle CFB = 90^{\circ}$，又因为$AD = BC$，$DE = BF$，所以$\triangle AED\cong \triangle CFB(HL)$ 2. 因为$\triangle AED\cong \triangle CFB$，所以$\angle DAE = \angle BCF$，所以$AB// DC$

4. 如图，在$\triangle ABC$与$\triangle FGE$中，$CD$，$EH$分别是边$AB$，$FG$上的高，且$AC=EF$，$CD=EH$，$\angle ACB=\angle FEG$. $\triangle ABC$与$\triangle FGE$全等吗？为什么？

△ABC 与△FGE 全等. 理由略.

答案： △ABC 与△FGE 全等. 理由略.

1. 如图，已知$AB\perp BD$，$CD\perp BD$，若用“HL”判定$Rt\triangle ABD$和$Rt\triangle CDB$全等，则需要添加的条件是(D)

A. $\angle B=\angle D$
B. $\angle ACB=\angle CAD$
C. $AB=CD$
D. $AD=CB$

答案： D

2. 如图，$\angle B=\angle D=90^{\circ}$，$BC=CD$. 若$\angle 1=40^{\circ}$，则$\angle 2$的度数为(B)


A. $40^{\circ}$
B. $50^{\circ}$
C. $45^{\circ}$
D. $60^{\circ}$

答案： B

3. 不能使两个直角三角形全等的条件是(D)
A. 一条直角边及其所对锐角对应相等
B. 斜边和一条直角边对应相等
C. 斜边和一个锐角对应相等
D. 两个锐角对应相等

答案： D

4. 如图，$AB=AC$，$CD\perp AB$于点$D$，$BE\perp AC$于点$E$，$BE$，$CD$交于点$O$，则图中全等三角形共有3对.

答案： 3

5. 如图，$AD$是$\triangle ABC$的高，$AD=BD=8$，$E$是$AD$上的一点，$BE=AC$，$AE=2$，则$CD$的长为____6____.

答案： 6

6. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，$DE\perp AB$于点$D$，交$AC$于点$E$. 若$BC=BD$，$AC=4cm$，$BC=3cm$，$AB=5cm$，则$\triangle ADE$的周长是____6$cm$.

答案： 6