《2025年启航新课堂八年级数学上册人教版》

4. 如图①，从边长为$a$的大正方形中剪掉一个边长为$b$的小正方形，将阴影部分剪下，拼成如图②所示的长方形。根据图形的变化过程能够验证的一个等式是(D)

A. $a(a + b) = a^{2} + ab$
B. $a(a - b) = a^{2} - ab$
C. $(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$
D. $a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)$

答案： D

5. (2024重庆八中月考)若$(x + 3)(x - 3) = x^{2} - k$成立，则$k$的值为____9。

答案： 9

6. 计算：
(1)$(4x + 5y)(4x - 5y) =$$16x^{2}-25y^{2}$；
(2)$(6a - b)(b + 6a) =$$36a^{2}-b^{2}$；
(3)$(-m + 5n)(-5n - m) =$$m^{2}-25n^{2}$；
(4)$(-m^{2}n - 2)(-m^{2}n + 2) =$$m^{4}n^{2}-4$；
(5)$3y(x + 3)(x - 3) =$$3x^{2}y-27y$。

答案：
(1)$16x^{2}-25y^{2}$；
(2)$36a^{2}-b^{2}$；
(3)$m^{2}-25n^{2}$；
(4)$m^{4}n^{2}-4$；
(5)$3x^{2}y-27y$

7. 运用乘法公式进行简便计算：
(1)$59.8×60.2 =$3599.96；
(2)$123^{2} - 124×122 =$1；
(3)$\frac{1000^{2}}{252^{2} - 248^{2}} =$500。

答案：
(1)3599.96；
(2)1；
(3)500

8. 先化简，再求值：
(1)$(a + b)(a - b) + b(2a + b)$，其中$a = 1$，$b = -2$；
化简结果为$a^{2}+2ab$，值为$-3$
(2)$3a(2a + 1) - (2a + 1)(2a - 1)$，其中$a$满足$2a^{2} + 3a - 6 = 0$。
化简结果为$2a^{2}+3a+1$，值为$7$

答案：
(1)原式$=a^{2}+2ab$．
当$a=1$，$b=-2$时，原式$=-3$；
(2)原式$=2a^{2}+3a+1$．
$\because 2a^{2}+3a-6=0$，$\therefore 2a^{2}+3a=6$，$\therefore$原式$=7$．

9. 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”。如$4 = 2^{2} - 0^{2}$，$12 = 4^{2} - 2^{2}$，$20 = 6^{2} - 4^{2}$，因此$4$，$12$，$20$都是“神秘数”，则下列是“神秘数”的是(B)
A. $56$
B. $60$
C. $62$
D. $88$

答案： B

10. 如图，点$D$，$C$，$H$，$G$分别在长方形$ABJI$的边上，点$E$，$F$在$CD$上。若正方形$ABCD$的面积为$20$，图中阴影部分的面积总和为$8$，则正方形$EFGH$的面积为(B)

A. $3$
B. $4$
C. $5$
D. $6$

答案： B

11. (1)计算：
$(a - 2)(a^{2} + 2a + 4) =$$a^{3}-8$；
$(2x - y)(4x^{2} + 2xy + y^{2}) =$$8x^{3}-y^{3}$；
(2)上面的乘法计算结果很简洁，聪明的你又可以发现一个新的乘法公式，用含$a$，$b$的字母表示为$(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})=a^{3}-b^{3}$；
(3)(C)下列各式能用你发现的乘法公式计算的是____；
A. $(a - 3)(a^{2} - 3a + 9)$
B. $(2m - n)(2m^{2} + 2mn + n^{2})$
C. $(4 - x)(16 + 4x + x^{2})$
D. $(m - n)(m^{2} + 2mn + n^{2})$
(4)直接用公式计算：
$(3x - 2y)(9x^{2} + 6xy + 4y^{2}) =$$27x^{3}-8y^{3}$。

答案：
(1)$a^{3}-8$；$8x^{3}-y^{3}$；
(2)$(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})=a^{3}-b^{3}$；
(3)C；
(4)$27x^{3}-8y^{3}$