《2025年启航新课堂八年级数学上册人教版》

3. 如图，在△ABC中，AD交BC于点D，E是BC的中点，EF//AD交CA的延长线于点F，交AB于点G. 若BG=CF，求证：AD为△ABC的角平分线.

答案： 【解析】：
过点$C$作$CH// AB$交$FE$的延长线于点$H$。
因为$CH// AB$，所以$\angle B=\angle ECH$，$\angle BGE=\angle H$。
又因为$E$是$BC$中点，即$BE = CE$，所以$\triangle BGE\cong\triangle CHE(AAS)$，则$BG = CH$。
因为$BG = CF$，所以$CH = CF$，所以$\angle F=\angle H$。
因为$EF// AD$，所以$\angle F=\angle CAD$，$\angle BGE=\angle BAD$。
又因为$\angle BGE=\angle H$，$\angle H=\angle F$，所以$\angle BAD=\angle CAD$。
【答案】：
因为$\angle BAD=\angle CAD$，所以$AD$为$\triangle ABC$的角平分线。

4. 如图，已知△ABC和△BDE，∠C=90°，BE⊥AB且BE=AB，BD⊥BC且BD=BC，CB的延长线交DE于点F. 求证：
(1) F是ED的中点；
(2) $S_{△ABC}=2S_{△BEF}$.

(1) 过点E作EG⊥BF，交BF的延长线于点G。因为BE⊥AB，所以∠EBG+∠ABC=90°，又因为∠A+∠ABC=90°（∠C=90°），所以∠EBG=∠A。在△EBG和△BAC中，$\left\{\begin{array}{l}\angle EGB=\angle C = 90^{\circ}\\\angle EBG=\angle A\\BE = AB\end{array}\right.$，根据AAS可得△EBG≌△BAC，所以EG=BC。因为BD=BC，所以EG=BD。在△EFG和△DFB中，$\left\{\begin{array}{l}\angle EGF=\angle DBF = 90^{\circ}\\\angle EFG=\angle DFB\\EG = BD\end{array}\right.$，根据AAS可得△EFG≌△DFB，所以EF=DF，即F是ED的中点。
(2) 由(1)知△EBG≌△BAC，所以S△EBG=S△ABC。又因为△EFG≌△DFB，所以S△EFG=S△DFB。S△EBG=S△BEF+S△EFG，S△BDE=S△BEF+S△DFB，所以S△EBG=2S△BEF，即S△ABC=2S△BEF。

答案： 【解析】：
(1) 过点$E$作$EG\perp BF$，交$BF$的延长线于点$G$。
因为$BE\perp AB$，所以$\angle EBG+\angle ABC = 90^{\circ}$，又因为$\angle A+\angle ABC = 90^{\circ}$（$\angle C = 90^{\circ}$），所以$\angle EBG=\angle A$。
在$\triangle EBG$和$\triangle BAC$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle EGB=\angle C = 90^{\circ}\\\angle EBG=\angle A\\BE = AB\end{array}\right.$，根据$AAS$可得$\triangle EBG\cong\triangle BAC$，所以$EG = BC$。
因为$BD = BC$，所以$EG = BD$。
在$\triangle EFG$和$\triangle DFB$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle EGF=\angle DBF = 90^{\circ}\\\angle EFG=\angle DFB\\EG = BD\end{array}\right.$，根据$AAS$可得$\triangle EFG\cong\triangle DFB$，所以$EF = DF$，即$F$是$ED$的中点。
(2) 由
(1)知$\triangle EBG\cong\triangle BAC$，所以$S_{\triangle EBG}=S_{\triangle ABC}$。
又因为$\triangle EFG\cong\triangle DFB$，所以$S_{\triangle EFG}=S_{\triangle DFB}$。
$S_{\triangle EBG}=S_{\triangle BEF}+S_{\triangle EFG}$，$S_{\triangle BDE}=S_{\triangle BEF}+S_{\triangle DFB}$，所以$S_{\triangle EBG}=2S_{\triangle BEF}$，即$S_{\triangle ABC}=2S_{\triangle BEF}$。
【答案】：
(1) $F$是$ED$的中点得证。
(2) $S_{\triangle ABC}=2S_{\triangle BEF}$得证。