《2025年启航新课堂八年级数学上册人教版》

7. 如图，$AB=AD$，$\angle ABC=\angle ADC=90^{\circ}$，$EF$过点$C$，$BE\perp EF$于点$E$，$DF\perp EF$于点$F$，且$BE=DF$. 求证：$CE=CF$.

证明：连接$AC$，在$Rt\triangle ABC$和$Rt\triangle ADC$中，$\left\{\begin{array}{l}AB = AD\\AC = AC\end{array}\right.$，$\therefore Rt\triangle ABC\cong Rt\triangle ADC(HL)$，$\therefore BC = DC$。在$Rt\triangle BEC$和$Rt\triangle DFC$中，$\left\{\begin{array}{l}BE = DF\\BC = DC\end{array}\right.$，$\therefore Rt\triangle BEC\cong Rt\triangle DFC(HL)$，$\therefore CE = CF$。

答案： 【解析】：
连接$AC$。
在$Rt\triangle ABC$和$Rt\triangle ADC$中，
$\left\{\begin{array}{l}AB = AD\\AC = AC\end{array}\right.$（公共边）
根据$HL$（斜边 - 直角边）定理，可得$Rt\triangle ABC\cong Rt\triangle ADC$。
所以$BC = DC$。
因为$BE\perp EF$，$DF\perp EF$，所以$\angle E=\angle F = 90^{\circ}$。
在$Rt\triangle BEC$和$Rt\triangle DFC$中，
$\left\{\begin{array}{l}BE = DF\\BC = DC\end{array}\right.$
根据$HL$定理，可得$Rt\triangle BEC\cong Rt\triangle DFC$。
所以$CE = CF$。
【答案】：
连接$AC$，在$Rt\triangle ABC$和$Rt\triangle ADC$中，$\left\{\begin{array}{l}AB = AD\\AC = AC\end{array}\right.$，$\therefore Rt\triangle ABC\cong Rt\triangle ADC(HL)$，$\therefore BC = DC$。
在$Rt\triangle BEC$和$Rt\triangle DFC$中，$\left\{\begin{array}{l}BE = DF\\BC = DC\end{array}\right.$，$\therefore Rt\triangle BEC\cong Rt\triangle DFC(HL)$，$\therefore CE = CF$。

8. 如图，已知$AC$，$BD$相交于点$O$，$AD=BC$，$AE\perp BD$于点$E$，$CF\perp BD$于点$F$，$BE=DF$. 试猜想$OA$与$OC$的数量关系，并说明理由.

猜想：$OA$与$OC$的数量关系是$OA=OC$. 理由略.

答案： OA=OC. 理由略.

9. 如图，在$\triangle ABC$中，$E$为$BC$边上一点，$AC=CE$，连接$AE$，$CD\perp AE$于点$F$，交$AB$于点$D$，连接$DE$，$\angle CAB=2\angle B$. 若$CE=5$，$AD=3$，则$BC$的长为(C)

A. 6
B. 7
C. 8
D. 10

答案： C

10. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，$AC=20$，$BC=10$，$AD\perp AC$，$P$，$Q$是线段$AC$和射线$AD$上的两个动点，且$PQ=AB$，当$AP$的长为10 或 20时，以$A$，$P$，$Q$为顶点的三角形与$\triangle ABC$全等.

答案： 10 或 20

11. 如图，在$Rt\triangle ABC$中，$AB=AC$，$\angle BAC=90^{\circ}$，$\angle 1=\angle 2$，$CE\perp BD$交$BD$的延长线于点$E$. 求证：$BD=2CE$.

答案： 【解析】：
延长$BA$、$CE$交于点$F$。
因为$CE\perp BD$，所以$\angle BEC = \angle BEF=90^{\circ}$。
在$\triangle BEC$和$\triangle BEF$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle 1 = \angle 2\\BE = BE\\\angle BEC=\angle BEF\end{array}\right.$，根据$ASA$（角 - 边 - 角）定理可得$\triangle BEC\cong\triangle BEF$，所以$CE = FE=\frac{1}{2}CF$，即$CF = 2CE$。
因为$\angle BAC = 90^{\circ}$，$\angle BEC = 90^{\circ}$，$\angle ADB=\angle CDE$，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle 1=\angle ACF$。
在$\triangle ABD$和$\triangle ACF$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle 1=\angle ACF\\AB = AC\\\angle BAD=\angle CAF = 90^{\circ}\end{array}\right.$，根据$ASA$（角 - 边 - 角）定理可得$\triangle ABD\cong\triangle ACF$，所以$BD = CF$。
又因为$CF = 2CE$，所以$BD = 2CE$。
【答案】：$BD = 2CE$得证。