《2025年启航新课堂八年级数学上册人教版》

1. 角的平分线的判定
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
注:(1)此结论是角平分线的判定,它与角平分线的性质是互逆的;(2)此结论的条件是指在角的内部有一点满足到角的两边的距离相等,那么过角的顶点和该点的射线必平分这个角.

答案： 内部；相等

2. 三角形的三条角平分线相交于一点,且这点到三角形三边的距离相等.
注:(1)该结论提供了证明三线共点的思路:先设其中的两线交于一点,再证明该交点在第三条线上;(2)该结论多应用于几何作图,特别是涉及实际问题的作图题.

答案： 角平分线

例1 如图,已知BP,CP分别是△ABC的外角平分线,且相交于点P. 求证:点P在∠A的平分线上.

证明：过点P分别作PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F，PG⊥AC于点G。
因为BP是△ABC的外角平分线，PE⊥AB，PF⊥BC，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，所以PE = PF。
同理，因为CP是△ABC的外角平分线，PF⊥BC，PG⊥AC，所以PF = PG。
由PE = PF，PF = PG，可得PE = PG。
再根据角平分线的判定：到角两边距离相等的点在角的平分线上，因为PE⊥AB，PG⊥AC，且PE = PG，所以点P在∠A的平分线上。

答案： 【解析】：过点$P$分别作$PE\perp AB$于点$E$，$PF\perp BC$于点$F$，$PG\perp AC$于点$G$。
因为$BP$是$\triangle ABC$的外角平分线，$PE\perp AB$，$PF\perp BC$，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，所以$PE = PF$。
同理，因为$CP$是$\triangle ABC$的外角平分线，$PF\perp BC$，$PG\perp AC$，所以$PF = PG$。
由$PE = PF$，$PF = PG$，可得$PE = PG$。
再根据角平分线的判定：到角两边距离相等的点在角的平分线上，因为$PE\perp AB$，$PG\perp AC$，且$PE = PG$，所以点$P$在$\angle A$的平分线上。
【答案】：点$P$在$\angle A$的平分线上。

1. 如图,点P在∠AOB的内部,PC⊥OA于点C,PD⊥OB于点D,PC=3. 当PD的长为3时,点P在∠AOB的平分线上.

答案： 3

2. 如图,BF⊥AC于点F,CE⊥AB于点E,BF与CE相交于点D,BD=CD. 求证:点D在∠BAC的平分线上.

证明：因为BF⊥AC，CE⊥AB，所以∠BED=∠CFD=90°。
在△BED和△CFD中，∠BED=∠CFD，∠BDE=∠CDF，BD=CD，所以△BED≌△CFD(AAS)，则DE=DF。
又因为DE⊥AB，DF⊥AC，所以点D在∠BAC的平分线上。

答案： 【解析】：
首先，因为$BF\perp AC$，$CE\perp AB$，所以$\angle BED = \angle CFD = 90^{\circ}$。
然后，在$\triangle BED$和$\triangle CFD$中，$\angle BED=\angle CFD$（已证），$\angle BDE = \angle CDF$（对顶角相等），$BD = CD$（已知）。
根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），可以得出$\triangle BED\cong\triangle CFD$。
因为全等三角形的对应边相等，所以$DE = DF$。
又因为$DE\perp AB$，$DF\perp AC$，根据角平分线的判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上，所以点$D$在$\angle BAC$的平分线上。
【答案】：
因为$BF\perp AC$，$CE\perp AB$，所以$\angle BED = \angle CFD = 90^{\circ}$。
在$\triangle BED$和$\triangle CFD$中，$\begin{cases}\angle BED=\angle CFD\\\angle BDE = \angle CDF\\BD = CD\end{cases}$，所以$\triangle BED\cong\triangle CFD(AAS)$，则$DE = DF$。
又因为$DE\perp AB$，$DF\perp AC$，所以点$D$在$\angle BAC$的平分线上。

例2 如图,O为△ABC中∠ABC,∠ACB的平分线的交点,过点O作OD⊥BC于点D,且OD=2. 已知△ABC的周长是31,求△ABC的面积.

31

答案： $ S_{\triangle ABC}=31 $.