《2025年启航新课堂八年级数学上册人教版》

15. (2024 重庆期末) 如图①，$ \triangle ABC $ 是等边三角形，$ M $，$ N $ 分别是边 $ AB $，$ BC $ 上的动点，点 $ M $，$ N $ 以相同的速度，分别从点 $ A $，$ B $ 同时出发。
(1) 如图①，连接 $ AN $，$ CM $，求证：$ \triangle ABN \cong \triangle CAM $；
(2) 如图①，当点 $ M $，$ N $ 分别在边 $ AB $，$ BC $ 上运动时 (端点除外)，$ AN $，$ CM $ 相交于点 $ P $，试探究 $ \angle NPC $ 的度数是否为定值，若是，求出 $ \angle NPC $ 的度数，若不是，请说明理由；
(3) 如图②，当点 $ M $，$ N $ 分别在 $ AB $，$ BC $ 的延长线上运动时，直线 $ AN $，$ CM $ 相交于点 $ P $，直接写出 $ \angle NPC $ 的度数为120°。

答案：
(1)证明略.
(2)是定值，$\angle NPC = 60^{\circ}$.
(3)$\angle NPC$的度数为$120^{\circ}$.

16. 在 $ \triangle ABC $ 中，点 $ D $，$ E $ 在 $ BC $ 边上，连接 $ AD $，$ AE $，其中 $ \angle BAE + \angle DAC = 180^\circ $，点 $ H $ 在 $ AC $ 边上，且 $ AB = AH $。
(1) 如图①，连接 $ EH $，若 $ DA \perp AC $，$ \angle ABC = 50^\circ $，$ \angle DAE = 80^\circ $，求 $ \angle C $ 的度数；30°
(2) 如图②，$ F $ 是 $ BE $ 的中点，连接 $ AF $，$ DH $，且满足 $ \angle DAC = \angle ABC + \angle ADC $。求证：$ DH = 2AF $。证明略.

答案：
(1)$\angle C = 30^{\circ}$.
(2)证明略.