《2025年启航新课堂八年级数学上册人教版》

7. 如图,DE⊥AB交AB的延长线于点E,DF⊥AC于点F. 若BD=CD,BE=CF,求证:AD平分∠BAC.

证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠E=∠DFC=90°.
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l} BD=CD\\ BE=CF\end{array}\right. $
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).
∴DE=DF.
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC.

答案： 【解析】：
- 因为$DE\perp AB$，$DF\perp AC$，所以$\angle E = \angle DFC = 90^{\circ}$。
- 在$Rt\triangle BDE$和$Rt\triangle CDF$中，$\left\{\begin{array}{l}BD = CD\\BE = CF\end{array}\right.$，根据“$HL$”（斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等）定理，可得$Rt\triangle BDE\cong Rt\triangle CDF$。
- 由全等三角形的性质可知$DE = DF$。
- 又因为$DE\perp AB$，$DF\perp AC$，根据角平分线的判定定理（角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上），所以$AD$平分$\angle BAC$。
【答案】：
在$Rt\triangle BDE$和$Rt\triangle CDF$中，$\left\{\begin{array}{l}BD = CD\\BE = CF\end{array}\right.$，$\therefore Rt\triangle BDE\cong Rt\triangle CDF(HL)$，$\therefore DE = DF$，又$\because DE\perp AB$，$DF\perp AC$，$\therefore AD$平分$\angle BAC$。

8. 如图,BD是∠ABC的平分线,点P在BD上,PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别是M,N,PM=PN. 求证:AB=BC.

证明：因为BD是∠ABC的平分线，所以∠ABD=∠CBD。
又因为PM⊥AD，PN⊥CD，PM=PN，根据角平分线的判定定理，可得BD是∠ADC的平分线，即∠ADB=∠CDB。
在△ABD和△CBD中，∠ABD=∠CBD，BD=BD，∠ADB=∠CDB，所以△ABD≌△CBD(ASA)，则AB=BC。

答案： 【解析】：
- 因为$BD$是$\angle ABC$的平分线，所以$\angle ABD = \angle CBD$。
- 又因为$PM\perp AD$，$PN\perp CD$，$PM = PN$，根据角平分线的判定定理（角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上），可得$BD$是$\angle ADC$的平分线，即$\angle ADB=\angle CDB$。
- 在$\triangle ABD$和$\triangle CBD$中：
$\angle ABD=\angle CBD$（已证）。
$BD = BD$（公共边）。
$\angle ADB=\angle CDB$（已证）。
根据“$ASA$”（两角及其夹边对应相等的两个三角形全等），可得$\triangle ABD\cong\triangle CBD$。
- 因为全等三角形的对应边相等，所以$AB = BC$。
【答案】：
在$\triangle ABD$和$\triangle CBD$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle ABD=\angle CBD\\BD = BD\\\angle ADB=\angle CDB\end{array}\right.$，所以$\triangle ABD\cong\triangle CBD(ASA)$，则$AB = BC$。

9. 如图,在△ABC中,∠ABC,∠EAC的平分线BP,AP交于点P. 下列结论:
①CP平分∠ACF;
②∠ABC+∠APC=180°;
③若PM⊥AB于点M,PN⊥BC于点N,则AM+CN=AC;
④∠BAC=2∠BPC.
其中正确的是(B)

A. ①②③
B. ①③④
C. ②③④
D. ①③

答案： B

10. 如图,△ABC的外角∠MBC和∠NCB的平分线BP,CP相交于点P,PE⊥BC于点E,且PE=3. 若△ABC的周长为15,S△BPC=7.5,则△ABC的面积为____7.5.

答案： 7.5

11. 如图,△ABD和△ACE都是等腰直角三角形,∠BAD与∠CAE是直角.
(1)求证:△ACD≌△AEB;证明略
(2)试判断∠AFD和∠AFE的大小关系,并说明理由.∠AFD=∠AFE.理由略.

答案：
(1)证明略.
(2)$ \angle AFD=\angle AFE $.理由略.