《2025年启航新课堂八年级数学上册人教版》

1. 角边角公理
两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”).
如图,在$\triangle ABC$和$\triangle A'B'C'$中,
$\left\{\begin{array}{l} ∠A=∠A',\\ AB=A'B',\\ ∠B=∠B',\end{array}\right. $$\therefore \triangle ABC\cong \triangle A'B'C'(ASA).$

答案： 【解析】：根据角边角公理的定义，是两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。
【答案】：两角；夹边

2. 角角边公理
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的这两个三角形全等(可以简写为“角角边”或“AAS”).
如图,在$\triangle ABC$和$\triangle A'B'C'$中,
$\left\{\begin{array}{l} ∠B=∠B',\\ ∠A=∠A',\\ AC=A'C',\end{array}\right. $$\therefore \triangle ABC\cong \triangle A'B'C'(AAS).$

注:要用“ASA”和“AAS”证明两个三角形全等,均需3个对应相等的条件,即两个角和一条边分别对应相等.其中一条边相等这一条件不可缺少,也不可换为角相等,因为有三个角对应相等的两个三角形不一定全等.

答案： 【解析】：根据角角边公理的定义，是两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。
【答案】：两角；对边

例1 如图,已知点D在AB上,点E在AC上,BE,CD交于点O,$AB=AC,∠B=∠C.$
(1)试判断BD和CE的数量关系,并说明理由;$BD = CE$
(2)试判断OB和OC的数量关系,并说明理由;$OB = OC$

答案：
(1)$BD = CE$. 理由略.
(2)$OB = OC$. 理由略.

1. 如图,A,D,B,E四点在同一条直线上.若$AD=BE,∠A=∠EDF,∠E+∠CBE=180^{\circ }$.求证:$AC=DF.$

证明：$\because AD = BE$，$\therefore AD + DB = BE + DB$，即$AB = DE$。
$\because\angle E+\angle CBE = 180^{\circ}$，$\angle ABC+\angle CBE = 180^{\circ}$，$\therefore\angle ABC=\angle E$。
在$\triangle ABC$和$\triangle DEF$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle A=\angle EDF\\AB = DE\\\angle ABC=\angle E\end{array}\right.$，$\therefore\triangle ABC\cong\triangle DEF(ASA)$，$\therefore AC = DF$。

答案： 【解析】：
- 因为$A$，$D$，$B$，$E$四点在同一条直线上，且$AD = BE$，所以$AD + DB = BE + DB$，即$AB = DE$。
- 又因为$\angle E+\angle CBE = 180^{\circ}$，$\angle ABC+\angle CBE = 180^{\circ}$，根据同角的补角相等，可得$\angle ABC=\angle E$。
- 在$\triangle ABC$和$\triangle DEF$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle A=\angle EDF\\AB = DE\\\angle ABC=\angle E\end{array}\right.$，根据“角 - 边 - 角”（$ASA$）全等判定定理，可得$\triangle ABC\cong\triangle DEF$。
- 由于全等三角形的对应边相等，所以$AC = DF$。
【答案】：
$\because AD = BE$，$\therefore AD + DB = BE + DB$，即$AB = DE$。
$\because\angle E+\angle CBE = 180^{\circ}$，$\angle ABC+\angle CBE = 180^{\circ}$，$\therefore\angle ABC=\angle E$。
在$\triangle ABC$和$\triangle DEF$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle A=\angle EDF\\AB = DE\\\angle ABC=\angle E\end{array}\right.$，$\therefore\triangle ABC\cong\triangle DEF(ASA)$，$\therefore AC = DF$。