《2025年启航新课堂八年级数学上册人教版》

例2 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$ AD $平分$\angle BAC$，$ DE \perp AB $于点$ E $. 求证：直线$ AD $是$ CE $的垂直平分线.

证明：因为$AD$平分$\angle BAC$，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$DE\perp AB$，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$DE = DC$。
在$Rt\triangle ADE$和$Rt\triangle ADC$中，$\left\{\begin{array}{l}AD = AD\\DE = DC\end{array}\right.$，根据$HL$（斜边 - 直角边）定理，可得$Rt\triangle ADE\cong Rt\triangle ADC$。
由全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，可得$AE = AC$。
因为$AE = AC$，$DE = DC$，根据线段垂直平分线的判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，可知点$A$、$D$都在$CE$的垂直平分线上。
又因为两点确定一条直线，所以直线$AD$是$CE$的垂直平分线。

答案： 【解析】：
- 因为$AD$平分$\angle BAC$，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$DE\perp AB$，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$DE = DC$。
- 在$Rt\triangle ADE$和$Rt\triangle ADC$中，$\left\{\begin{array}{l}AD = AD\\DE = DC\end{array}\right.$，根据$HL$（斜边 - 直角边）定理，可得$Rt\triangle ADE\cong Rt\triangle ADC$。
- 由全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，可得$AE = AC$。
- 因为$AE = AC$，$DE = DC$，根据线段垂直平分线的判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，可知点$A$、$D$都在$CE$的垂直平分线上。
- 又因为两点确定一条直线，所以直线$AD$是$CE$的垂直平分线。
【答案】：直线$AD$是$CE$的垂直平分线。

线段垂直平分线的判定方法：(1) 由点$ P $到线段$ AB $两端的距离相等，得出点$ P $在线段$ AB $的垂直平分线上；(2) 由点$ Q $到线段$ AB $两端的距离相等，得出点$ Q $在线段$ AB $的垂直平分线上；(3) 由两点确定一条直线，得出直线$ PQ $是线段$ AB $的垂直平分线. 简而言之，若两个点在线段的垂直平分线上，则经过这两点的直线是线段的垂直平分线.

答案： 【解析】：本题主要是对线段垂直平分线判定方法的阐述。根据线段垂直平分线的性质，到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。已知点$P$到线段$AB$两端的距离相等，所以点$P$在线段$AB$的垂直平分线上；同理点$Q$到线段$AB$两端的距离相等，点$Q$也在线段$AB$的垂直平分线上。又因为两点确定一条直线，所以经过点$P$和点$Q$的直线$PQ$就是线段$AB$的垂直平分线，这种判定方法是合理且符合数学原理的。
【答案】：该判定方法正确。

4. 如图，现要建一个牛奶供应站$ P $，使它到三小区$ A $，$ B $，$ C $的距离相等，则该牛奶供应站$ P $的位置应选在 (C)

A. $\triangle ABC$三条中线的交点
B. $\triangle ABC$三个内角平分线的交点
C. $\triangle ABC$三边的垂直平分线的交点
D. $\triangle ABC$三条高所在直线的交点

答案： C

5. 如图，$ AB = AC $，$ DB = DC $，点$ E $在直线$ AD $上. 求证：$ EB = CE $.

证明：连接$BC$，由$AB = AC$，$DB = DC$可得直线$AD$是线段$BC$的垂直平分线，因为点$E$在直线$AD$上，所以$EB = CE$。

答案： 【解析】：
连接$BC$。
因为$AB = AC$，$DB = DC$，根据“到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上”，可知点$A$、$D$都在$BC$的垂直平分线上。
又因为两点确定一条直线，所以直线$AD$是线段$BC$的垂直平分线。
由于点$E$在直线$AD$上，根据“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”，所以$EB = CE$。
【答案】：
连接$BC$，由$AB = AC$，$DB = DC$可得直线$AD$是线段$BC$的垂直平分线，因为点$E$在直线$AD$上，所以$EB = CE$。

例3 说出下列命题的逆命题. 这些逆命题成立吗？
(1) 两条直线平行，内错角相等；
(2) 如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；
(3) 全等三角形的对应角相等；
(4) 在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上.

答案： 【解析】：
1. 对于命题“两条直线平行，内错角相等”，交换条件和结论得到逆命题“内错角相等，两条直线平行”，根据平行线的判定定理，这个逆命题是成立的。
2. 命题“如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等”，其逆命题是“如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等”，因为互为相反数的两个实数绝对值也相等，所以这个逆命题不成立。
3. 命题“全等三角形的对应角相等”，逆命题是“对应角相等的三角形是全等三角形”，对应角相等的三角形只能说明形状相同，大小不一定相同，不一定是全等三角形，所以这个逆命题不成立。
4. 命题“在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上”，逆命题是“角的平分线上的点到角的两边距离相等”，这是角平分线的性质定理，所以这个逆命题成立。
【答案】：
1. 逆命题：内错角相等，两条直线平行；成立。
2. 逆命题：如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等；不成立。
3. 逆命题：对应角相等的三角形是全等三角形；不成立。
4. 逆命题：角的平分线上的点到角的两边距离相等；成立。