《2025年启航新课堂八年级数学上册人教版》

2. 如图,在$△ABC$中,$∠BAC=108^{\circ},AB=AC,BD$平分$∠ABC$,交 AC 于点 D. 求证:$BC=CD+AB$.

证明：在$BC$上截取$BE = AB$，连接$DE$。由$BD$平分$\angle ABC$，证$\triangle ABD\cong\triangle EBD(SAS)$，得$\angle BED=\angle A = 108^{\circ}$，进而得$\angle DEC = 72^{\circ}$。由$AB = AC$，$\angle A = 108^{\circ}$，得$\angle C = 36^{\circ}$，在$\triangle DEC$中，得$\angle EDC = 72^{\circ}$，所以$CD = CE$。因为$BC = BE + CE$，$BE = AB$，$CE = CD$，所以$BC = CD + AB$。

答案： 【解析】：
在$BC$上截取$BE = AB$，连接$DE$。
因为$BD$平分$\angle ABC$，所以$\angle ABD=\angle EBD$。
在$\triangle ABD$和$\triangle EBD$中，$\left\{\begin{array}{l}AB = EB\\\angle ABD=\angle EBD\\BD = BD\end{array}\right.$，根据$SAS$（边角边）定理可得$\triangle ABD\cong\triangle EBD$。
所以$\angle BED=\angle A$，因为$\angle A = 108^{\circ}$，所以$\angle BED = 108^{\circ}$，则$\angle DEC=180^{\circ}-\angle BED = 72^{\circ}$。
又因为$AB = AC$，$\angle A=108^{\circ}$，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle C=\angle ABC=\frac{180^{\circ}-108^{\circ}}{2}=36^{\circ}$。
在$\triangle DEC$中，$\angle EDC = 180^{\circ}-\angle DEC-\angle C=180^{\circ}-72^{\circ}-36^{\circ}=72^{\circ}$，所以$\angle DEC=\angle EDC$，则$CD = CE$。
因为$BC = BE + CE$，$BE = AB$，$CE = CD$，所以$BC = CD + AB$。
【答案】：在$BC$上截取$BE = AB$，连接$DE$。由$BD$平分$\angle ABC$，证$\triangle ABD\cong\triangle EBD(SAS)$，得$\angle BED=\angle A = 108^{\circ}$，进而得$\angle DEC = 72^{\circ}$。由$AB = AC$，$\angle A = 108^{\circ}$，得$\angle C = 36^{\circ}$，在$\triangle DEC$中，得$\angle EDC = 72^{\circ}$，所以$CD = CE$。因为$BC = BE + CE$，$BE = AB$，$CE = CD$，所以$BC = CD + AB$。

3. 如图,在四边形 ABCD 中,AC 平分$∠BAD,CE⊥AB$于点 E,且$∠B+∠D=180^{\circ}$. 求证:$2AE=AD+AB$.

证明：过点$C$作$CF\perp AD$交$AD$延长线于$F$。
$\because AC$平分$\angle BAD$，$CE\perp AB$，$CF\perp AD$，$\therefore$$CE=CF$。
$\because\angle B+\angle D = 180^{\circ}$，$\angle CDF+\angle D = 180^{\circ}$，$\therefore$$\angle B=\angle CDF$。
在$\triangle CEB$和$\triangle CFD$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle B=\angle CDF\\\angle CEB=\angle CFD\\CE = CF\end{array}\right.$，$\therefore\triangle CEB\cong\triangle CFD$(AAS)，$\therefore$$BE=DF$。
在$Rt\triangle AEC$和$Rt\triangle AFC$中，$\left\{\begin{array}{l}AC = AC\\CE = CF\end{array}\right.$，$\therefore Rt\triangle AEC\cong Rt\triangle AFC$(HL)，$\therefore$$AE=AF$。
$\because AD + AB=AD+(AE + BE)=AD+(AE + DF)=AF + AE=2AE$，$\therefore2AE = AD + AB$。

答案： 【解析】：
过点$C$作$CF\perp AD$，交$AD$的延长线于点$F$。
因为$AC$平分$\angle BAD$，$CE\perp AB$，$CF\perp AD$，根据角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”，所以$CE = CF$。
又因为$\angle B+\angle D = 180^{\circ}$，$\angle CDF+\angle D = 180^{\circ}$，所以$\angle B=\angle CDF$。
在$\triangle CEB$和$\triangle CFD$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle B=\angle CDF\\\angle CEB=\angle CFD = 90^{\circ}\\CE = CF\end{array}\right.$，根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），可得$\triangle CEB\cong\triangle CFD$。
所以$BE = DF$。
在$Rt\triangle AEC$和$Rt\triangle AFC$中，$\left\{\begin{array}{l}AC = AC\\CE = CF\end{array}\right.$，根据$HL$（斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等），可得$Rt\triangle AEC\cong Rt\triangle AFC$，所以$AE = AF$。
而$AD + AB=AD+(AE + BE)=AD+(AE + DF)$，因为$AF=AD + DF$，且$AE = AF$，所以$AD + AB=AE + AE=2AE$。
【答案】：
过点$C$作$CF\perp AD$交$AD$延长线于$F$。
$\because AC$平分$\angle BAD$，$CE\perp AB$，$CF\perp AD$，$\therefore CE = CF$。
$\because\angle B+\angle D = 180^{\circ}$，$\angle CDF+\angle D = 180^{\circ}$，$\therefore\angle B=\angle CDF$。
在$\triangle CEB$和$\triangle CFD$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle B=\angle CDF\\\angle CEB=\angle CFD\\CE = CF\end{array}\right.$，$\therefore\triangle CEB\cong\triangle CFD(AAS)$，$\therefore BE = DF$。
在$Rt\triangle AEC$和$Rt\triangle AFC$中，$\left\{\begin{array}{l}AC = AC\\CE = CF\end{array}\right.$，$\therefore Rt\triangle AEC\cong Rt\triangle AFC(HL)$，$\therefore AE = AF$。
$\because AD + AB=AD+(AE + BE)=AD+(AE + DF)=AF + AE=2AE$，$\therefore2AE = AD + AB$。