《2025年启航新课堂八年级数学上册人教版》

例2 如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D，E在BC上，且AE=BE。
(1) 求∠CAE的度数；90°
(2) 若AD=DC，求证：△ADE是等边三角形。证明略

答案：
(1) $\angle CAE = 90^{\circ}$.
(2) 证明略.

4. 下列三角形中，不一定是等边三角形的是 (D)
A. 有两个角等于60°的三角形
B. 有一个外角等于120°的等腰三角形
C. 三个角都相等的三角形
D. 边上的高也是这条边上的中线的三角形

答案： D

5. 如图，C为线段AB上一点，△ACM，△CBN都是等边三角形，AN交MC于点E，BM交CN于点F，连接EF。求证：
(1) AN=BM；
(2) △CEF为等边三角形。

答案： 【解析】：
(1) 因为$\triangle ACM$，$\triangle CBN$都是等边三角形，所以$AC = MC$，$CN = CB$，$\angle ACM=\angle BCN = 60^{\circ}$。
$\angle ACM+\angle MCN=\angle BCN+\angle MCN$，即$\angle ACN=\angle MCB$。
在$\triangle ACN$和$\triangle MCB$中，$\begin{cases}AC = MC\\\angle ACN=\angle MCB\\CN = CB\end{cases}$，根据$SAS$（边角边）定理，可得$\triangle ACN\cong\triangle MCB$，所以$AN = BM$。
(2) 由$\triangle ACN\cong\triangle MCB$，可得$\angle CAE=\angle CMF$。
因为$\angle ACM=\angle BCN = 60^{\circ}$，所以$\angle MCN = 180^{\circ}-\angle ACM-\angle BCN=60^{\circ}$，即$\angle ACE=\angle MCF = 60^{\circ}$。
又因为$AC = MC$，在$\triangle ACE$和$\triangle MCF$中，$\begin{cases}\angle CAE=\angle CMF\\AC = MC\\\angle ACE=\angle MCF\end{cases}$，根据$ASA$（角边角）定理，可得$\triangle ACE\cong\triangle MCF$，所以$CE = CF$。
又因为$\angle ECF = 60^{\circ}$，所以$\triangle CEF$为等边三角形（有一个角是$60^{\circ}$的等腰三角形是等边三角形）。
【答案】：
(1) $AN = BM$；
(2) $\triangle CEF$为等边三角形。

1. 下列条件中，不能判断△ABC是等边三角形的是 (D)
A. ∠A=∠B=∠C
B. AB=AC，∠B=60°
C. ∠A=60°，∠B=60°
D. AB=AC，∠B=∠C

答案： D

2. 如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上。若∠DBC=35°，则∠ADB的度数为 (D)

A. 25°
B. 60°
C. 85°
D. 95°

答案： D