《2025年启航新课堂八年级数学上册人教版》

7. 如图，已知 $ \angle BAC = \angle DAC $，请添加一个条件：$AB = AD$，使 $ \triangle ABC \cong \triangle ADC $。(写出一个即可)

答案： $AB = AD$

8. (2025 沙坪坝区开学) 如图，在四边形 $ ABCD $ 中，$ AB // CD $，$ \angle 1 = \angle 2 $，$ AD = EC $。若 $ AB = 2 $，$ BE = 3 $，则 $ CD $ 的长为________5。

答案： 5

9. 如图，在等腰 $ \text{Rt} \triangle ABC $ 中，$ \angle BAC = 90^\circ $，$ AB = AC $，$ D $ 是 $ BC $ 边上的一点，过点 $ B $ 作 $ BE \perp AD $ 于点 $ E $，过点 $ C $ 作 $ CF \perp AD $ 交 $ AD $ 的延长线于点 $ F $。若 $ BE = 7 $，$ EF = 4 $，则 $ CF $ 的长为________3。

答案： 3

10. (2025 重庆一外开学) 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ \angle BAC = 45^\circ $，高 $ AD $，$ CE $ 交于点 $ H $。若 $ AB = 19 $，$ CE = 12 $，则 $ CH $ 的长为________5。

答案： 5

11. 如图，已知边长为 4 的正方形 $ ABCD $，$ P $ 是 $ BC $ 边上一动点 (不与点 $ B $，$ C $ 重合)，连接 $ AP $，作 $ PE \perp AP $ 交 $ CE $ 于点 $ E $，$ PE = AP $。若 $ BP = \frac{3}{2} $，则 $ \triangle PCE $ 的面积为$\frac{15}{8}$。

答案： $\frac{15}{8}$

12. (2024 重庆八中期中) 如图，$ \triangle ABC $ 的两条角平分线 $ CF $，$ AE $ 相交于点 $ D $，且 $ \angle BAC = 90^\circ $，过点 $ A $ 作 $ AM \perp AE $ 交 $ CF $ 的延长线于点 $ M $，则下列结论中正确的有________。(填序号)
① 若 $ \angle B = 60^\circ $，则 $ \angle BFD = \angle AEC $；
② $ AC = AF + EC $；
③ $ 2 \angle ADC - \angle B = 180^\circ $；
④ $ \angle M = \frac{1}{2} \angle B $。

①③④

答案： ①③④

13. 已知三角形的两条边分别长 $ 1\text{cm} $，$ 1.5\text{cm} $，且长为 $ 1\text{cm} $ 的这条边所对的角是 $ 30^\circ $，求作这个三角形。

答案： 【解析】：
1. 先作一个角$\angle MAN = 30^{\circ}$。
2. 在射线$AN$上截取$AB = 1.5\text{cm}$。
3. 以点$B$为圆心，$1\text{cm}$为半径画弧，此弧与射线$AM$有两个交点$C_1$和$C_2$（因为$1.5\sin30^{\circ}=0.75\lt1$且$1\lt1.5$，根据正弦定理可知有两解）。
4. 连接$BC_1$和$BC_2$，则$\triangle ABC_1$和$\triangle ABC_2$就是所求作的三角形。
【答案】：先作$\angle MAN = 30^{\circ}$，在射线$AN$上截取$AB = 1.5\text{cm}$，以点$B$为圆心，$1\text{cm}$为半径画弧交射线$AM$于$C_1$、$C_2$两点，连接$BC_1$、$BC_2$，$\triangle ABC_1$和$\triangle ABC_2$即为所求三角形。

14. (2025 南开中学期中) 如图，在 $ \triangle ABD $ 中，$ \angle D = 90^\circ $，延长 $ AB $ 至点 $ C $，使 $ BC = AD $，过点 $ B $ 作 $ BE \perp BD $，使 $ BE = AB $，连接 $ EC $。
(1) 试说明：$ \triangle ABD \cong \triangle BEC $；
(2) 若 $ AD = 6 $，$ AC = 16 $，求 $ BE $ 的长。

(1)证明略. (2)$BE = $10.

答案：
(1)证明略.
(2)$BE = 10$.