《2025年启航新课堂八年级数学上册人教版》

1. 提公因式法的定义
(1) 多项式 $ ma + mb + mc $ 中的每一项都含有一个相同的因式 $ m $，我们称之为公因式。公因式可以是单项式，也可以是多项式；
(2) 把公因式提出来，多项式 $ ma + mb + mc $ 就可以分解成两个因式 $ m $ 和 $ (a + b + c) $ 的乘积了，像这种因式分解的方法，叫作提公因式法。
注：当公因式为单项式时，需注意以下几点：
(1) 公因式的系数取各项系数的最大公因数，字母取各项都含有的相同字母，指数取相同字母的最低次幂；
(2) 括号里的首项系数必须为正；
(3) 单项式因式要放在多项式的前面；
(4) 提公因式的实质是逆用乘法分配律；
(5) 提公因式时，容易出现“漏项”的错误，检查是否漏项的方法，最好是用单项式乘多项式的法则进行验证；也可以检查括号内的项数是否与原多项式的项数一致。

答案： 【解析】：1. 对于公因式的系数，为了保证公因式是各项系数的最大公因数，这样才能提取出最大的公因式，所以公因式的系数取各项系数的最大公因数；字母取各项都含有的相同字母，指数取相同字母的最低次幂，这样能保证提取的公因式是各项都含有的最大公因式。2. 为了使分解后的式子形式更规范，括号里的首项系数必须为正。
【答案】：
(1)最大公因数；最低次幂
(2)正

例1 指出下列多项式中各项的公因式。
(1) $ 5a^{3} + 4a^{2}b + 12abc $；
(2) $ 3x^{2}y^{3} + 6x^{3}y^{2}z^{5} - 12x^{2}yz^{2} $；
(3) $ 2a(a + b)^{2} + ab(a + b) + 5a(a + b) $；
(4) $ 2x^{n + 1} + 3x^{n - 1} + x^{n} $（ $ n $ 是大于1的整数）。

答案：
(1)$a$；
(2)$3x^{2}y$；
(3)$a(a + b)$；
(4)$x^{n - 1}$．

1. 观察下列各组式子，有公因式的是（B）
① $ a + b $ 和 $ 2a + b $； ② $ 5m(a - b) $ 和 $ -a + b $；
③ $ 3(a + b) $ 和 $ -a - b $； ④ $ (a + b)^{2} $ 和 $ a^{2} + b^{2} $。
A. ①②
B. ②③
C. ③④
D. ①④

答案： B

2. (1) 单项式 $ -12x^{12}y^{3} $ 与 $ 8x^{10}y^{6} $ 的公因式是$4x^{10}y^{3}$；
(2) 多项式 $ 3a^{3}m - 6a^{2}m + 12am $ 各项的公因式是$3am$；
(3) 多项式 $ -4a^{2}b + 8ab - 4a $ 各项的公因式是$-4a$。

答案：
(1)$4x^{10}y^{3}$；
(2)$3am$；
(3)$-4a$

例2 把下列各式因式分解：
(1) $ ax^{2} - ax $；
(2) $ 24a^{3}bc^{2} + 8ab^{2} $；
(3) $ -3ab^{3} + 6ab^{2} - 12ab $；
(4) $ 2m(x - y) - 3mn(x - y) $；
(5) $ a(x - y) - b(y - x) $。

答案：
(1)$ax(x - 1)$；
(2)$8ab(3a^{2}c^{2} + b)$；
(3)$-3ab(b^{2} - 2b + 4)$；
(4)$m(x - y)(2 - 3n)$；
(5)$(x - y)(a + b)$．