《2025年启航新课堂八年级数学上册人教版》

1. 幂的乘方的运算法则
幂的乘方，底数不变，指数相乘，即$(a^{m})^{n}=$$a^{mn}$$(m，$n为正整数)。
幂的乘方法则的推广：$[(a^{m})^{n}]^{p}=$$a^{mnp}$$(m，$n，p均为正整数)。
注：(1)幂的乘方与同底数幂的乘法不能相互混淆，其相同点都是底数不变，不同点是前者是指数相乘，而后者是指数相加；
(2)幂的乘方法则中的底数既可以是单个字母或数字，也可以是单项式或多项式。

答案： 【解析】：根据幂的乘方的定义和性质来推导运算法则。对于$(a^{m})^{n}$，它表示$n$个$a^{m}$相乘，根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，$n$个$a^{m}$相乘就是$a^{m + m+\cdots + m}$（$n$个$m$相加），$n$个$m$相加为$mn$，所以$(a^{m})^{n}=a^{mn}$，即幂的乘方，底数不变，指数相乘。对于幂的乘方法则的推广$[(a^{m})^{n}]^{p}$，先计算$(a^{m})^{n}=a^{mn}$，再计算$(a^{mn})^{p}$，同样根据幂的乘方运算法则可得$(a^{mn})^{p}=a^{mnp}$。
【答案】：不变；相乘；$a^{mn}$；$a^{mnp}$

2. 幂的乘方法则的逆用$a^{mn}=$$(a^{m})^{n}$=$(a^{n})^{m}$$(m，n$为正整数)。

答案： 【解析】：根据幂的乘方法则：$(a^{m})^{n}=a^{mn}$（$m$，$n$为正整数），其逆用就是把$a^{mn}$变形，所以$a^{mn}=(a^{m})^{n}=(a^{n})^{m}$（$m$，$n$为正整数）。
【答案】：$(a^{m})^{n}$ $(a^{n})^{m}$

3. 积的乘方法则
积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即$(ab)^{n}=$$a^{n}b^{n}$$(n$为正整数)。
积的乘方法则的推广：$(abc)^{n}=$$a^{n}b^{n}c^{n}$$(n$为正整数)。
注：运用积的乘方法则时，应使每一个因式都分别乘方，不要遗漏其中任何一个因式。

答案： 【解析】：根据积的乘方法则的定义，积的乘方，就是把积里的每一个因式分别乘方，然后将所得的幂相乘。对于$(ab)^{n}$，根据乘方的意义$(ab)^{n}=\underbrace{(ab)\times(ab)\times\cdots\times(ab)}_{n个ab}=\underbrace{(a\times a\times\cdots\times a)}_{n个a}\times\underbrace{(b\times b\times\cdots\times b)}_{n个b}=a^{n}b^{n}$；对于$(abc)^{n}$，同理可得$(abc)^{n}=\underbrace{(abc)\times(abc)\times\cdots\times(abc)}_{n个abc}=\underbrace{(a\times a\times\cdots\times a)}_{n个a}\times\underbrace{(b\times b\times\cdots\times b)}_{n个b}\times\underbrace{(c\times c\times\cdots\times c)}_{n个c}=a^{n}b^{n}c^{n}$。
【答案】：因式；乘方；相乘；$a^{n}b^{n}$；$a^{n}b^{n}c^{n}$

4. 积的乘方法则的逆用$a^{n}b^{n}=$$(ab)^{n}$($n$为正整数)。

答案： 【解析】：根据积的乘方法则$(ab)^n = a^n b^n$（$n$为正整数），将其进行逆用，就可以得到$a^{n}b^{n}=(ab)^{n}$。
【答案】：$(ab)^{n}$

例1 计算：
（1）$(a^{2})^{3}$；
（2）$-(y^{3})^{2}\cdot(y^{2})^{3}$；
（3）$(a^{2n - 1})^{2}\cdot(a^{n + 1})^{3}$。

答案：
(1)$a^{6}$；
(2)$-y^{12}$；
(3)$a^{7n + 1}$．

1. 下列各式的括号内，应填入$a^{3}$的是（C）
A. $a^{12}=(\ )^{9}$
B. $a^{12}=(\ )^{6}$
C. $a^{12}=(\ )^{4}$
D. $a^{12}=(\ )^{2}$

答案： C

2. 计算下列各题：
（1）$(m^{4})^{3}\cdot m^{2}$；
（2）$(-a^{4})^{3}\cdot a^{5}$；
（3）$3x^{7}\cdot x^{3}-(-x^{5})^{2}$；
（4）$(a^{n - 1})^{2}\cdot a^{n}\cdot a^{n - 2}$；
（5）$[(-a - b)^{2}]^{3}\cdot[(a + b)^{3}]^{2}$。

答案：
(1)$m^{14}$；
(2)$-a^{17}$；
(3)$2x^{10}$；
(4)$a^{4n - 4}$；
(5)$(a + b)^{12}$．