《2025年启航新课堂八年级数学上册人教版》

2. 如图,$AB// CD,AB=CD$.求证:$EO=OF.$

证明：由$AB// CD$得$\angle A=\angle D$，$\angle B=\angle C$，结合$AB = CD$证$\triangle ABO\cong\triangle DCO(ASA)$，得$AO = DO$，再由$\angle AOE=\angle DOF$，$\angle A=\angle D$证$\triangle AEO\cong\triangle DFO(ASA)$，所以$EO = OF$。

答案： 【解析】：
- 因为$AB// CD$，根据“两直线平行，内错角相等”，所以$\angle A=\angle D$，$\angle B=\angle C$。
- 在$\triangle ABO$和$\triangle DCO$中，$\begin{cases}\angle A=\angle D\\AB = CD\\\angle B=\angle C\end{cases}$，根据“角 - 边 - 角”（$ASA$）判定定理，可得$\triangle ABO\cong\triangle DCO$。
- 由$\triangle ABO\cong\triangle DCO$，根据全等三角形的对应边相等，所以$AO = DO$。
- 又因为$\angle AOE=\angle DOF$（对顶角相等），$\angle A=\angle D$。
- 在$\triangle AEO$和$\triangle DFO$中，$\begin{cases}\angle A=\angle D\\AO = DO\\\angle AOE=\angle DOF\end{cases}$，根据“角 - 边 - 角”（$ASA$）判定定理，可得$\triangle AEO\cong\triangle DFO$。
- 再根据全等三角形的对应边相等，所以$EO = OF$。
【答案】：
由$AB// CD$得$\angle A=\angle D$，$\angle B=\angle C$，结合$AB = CD$证$\triangle ABO\cong\triangle DCO(ASA)$，得$AO = DO$，再由$\angle AOE=\angle DOF$，$\angle A=\angle D$证$\triangle AEO\cong\triangle DFO(ASA)$，所以$EO = OF$。

例2 如图,$∠DCE=90^{\circ },∠DAC=90^{\circ },BE⊥AC$于点B,且$DC=EC$.求证:$AB+AD=BE.$

证明：因为$\angle DCE = 90^{\circ}$，$\angle DAC = 90^{\circ}$，$BE\perp AC$于点$B$，所以$\angle ACD+\angle ECB = 90^{\circ}$，$\angle ACD+\angle D = 90^{\circ}$，则$\angle ECB=\angle D$。
在$\triangle ADC$和$\triangle BCE$中，$\begin{cases}\angle DAC=\angle CBE = 90^{\circ}\\\angle D=\angle ECB\\DC = EC\end{cases}$，根据AAS定理可得$\triangle ADC\cong\triangle BCE$。
由全等三角形的性质可知$AD = BC$，$AC = BE$。
又因为$AC=AB + BC$，且$AD = BC$，所以$AB + AD=AB + BC=AC$，而$AC = BE$，故$AB + AD = BE$。

答案： 【解析】：
因为$\angle DCE = 90^{\circ}$，$\angle DAC = 90^{\circ}$，$BE\perp AC$于点$B$，所以$\angle ACD+\angle ECB = 90^{\circ}$，$\angle ACD+\angle D = 90^{\circ}$，则$\angle ECB=\angle D$。
在$\triangle ADC$和$\triangle BCE$中，$\begin{cases}\angle DAC=\angle CBE = 90^{\circ}\\\angle D=\angle ECB\\DC = EC\end{cases}$，根据$AAS$（角角边）定理可得$\triangle ADC\cong\triangle BCE$。
由全等三角形的性质可知$AD = BC$，$AC = BE$。
又因为$AC=AB + BC$，且$AD = BC$，所以$AB + AD=AB + BC=AC$，而$AC = BE$，故$AB + AD = BE$。
【答案】：通过证明$\triangle ADC\cong\triangle BCE$，利用全等三角形的性质得到$AD = BC$，$AC = BE$，再结合$AC=AB + BC$，从而证明$AB + AD = BE$。

3. 如图,点D,A,E在直线m上,$AB=AC,∠BAC=90^{\circ },BD⊥m$于点D,$CE⊥m$于点E.若$BD=3,CE=5$,则DE的长为8.

答案： 8

4. 如图,在$\triangle ABC$中,$∠ACB=90^{\circ },AC=BC,BE⊥CE$于点E,$AD⊥CE$于点D.求证:
(1)$\triangle BEC\cong \triangle CDA$(AAS);
(2)$AD=$$BE+DE$.

答案： 【解析】：
(1) 因为$BE⊥CE$，$AD⊥CE$，所以$\angle BEC = \angle CDA = 90^{\circ}$。
又因为$\angle ACB = 90^{\circ}$，所以$\angle BCE+\angle ACD = 90^{\circ}$，$\angle CAD+\angle ACD = 90^{\circ}$，则$\angle BCE=\angle CAD$。
在$\triangle BEC$和$\triangle CDA$中，$\begin{cases}\angle BEC=\angle CDA\\\angle BCE=\angle CAD\\BC = AC\end{cases}$，根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），可得$\triangle BEC\cong\triangle CDA$。
(2) 因为$\triangle BEC\cong\triangle CDA$，所以$BE = CD$，$CE = AD$。
又因为$CE=CD + DE$，把$BE = CD$，$CE = AD$代入可得$AD=BE + DE$。
【答案】：
(1) $\triangle BEC\cong\triangle CDA(AAS)$；
(2) $AD=BE + DE$。

1. 一块玻璃碎成如图所示的四块,聪明的小强同学只带了第4块去玻璃店,就能配成与原来一样大小的玻璃,其依据是(B)

A. AAS
B. ASA
C. SAS
D. SSS

答案： B