《2025年启航新课堂八年级数学上册人教版》

1. 下列命题：
①有两个角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形全等；
②有两条边和第三条边上的中线对应相等的两个三角形全等；
③有两条边和第三条边上的高对应相等的两个三角形全等.
其中正确的是 (A)
A. ①②
B. ②③
C. ①③
D. ①②③

答案： 1. A

2. 已知$△ABC$的三边长分别为3,5,7,$△DEF$的三边长分别为3,$3x - 2$,$2x - 1$. 若这两个三角形全等,则x的值为 (C)
A. $\frac{7}{3}$
B. 4
C. 3
D. 3或$\frac{7}{3}$

答案： 2. C

3. 在$△ABC$和$△A'B'C'$中,$AB = A'B'$,$AC = A'C'$,$∠C = 60^{\circ}$,$AD$,$A'D'$分别为$BC$,$B'C'$边上的高,且$AD = A'D'$,则$∠C'$的度数为$60^{\circ}$或$120^{\circ}$.

答案： 3. $ 60 ^ { \circ } $或$ 120 ^ { \circ } $

4. 在$Rt△ABC$中,$∠ACB = 90^{\circ}$,$AC = BC$,直线l过点C,$AD⊥l$,$BE⊥l$,垂足分别为D,E,$AD = 3$,$BE = 1$,则DE的长是2 或 4.

答案： 4. 2 或 4

5. 在“U”字形框架PABQ中,$AB = 20$,$AP$,$BQ$足够长,$PA⊥AB$于点A,$QB⊥AB$于点B,点M从点B出发向点A运动,点N从点B出发向点Q运动,速度之比为$2:3$,运动到某一瞬间两点同时停止. 在AP上取点C,使$△ACM$与$△BMN$全等,则AC的长为______8 或 15.

答案： 5. 8 或 15

6. 如图,在$△ABC$和$△BDE$中,点C在边BD上,AC交BE于点F. 若$AC = BD$,$AB = ED$,$BC = BE$,则$∠ACB$的度数为 (C)

A. $∠EDB$
B. $∠BED$
C. $\frac{1}{2}∠AFB$
D. $2∠ABF$

答案： 6. C

7. 如图,在$Rt△ABC$中,$∠ABC = 90^{\circ}$,D是CB延长线上一点,E是线段AB上一点,连接DE,$AC = DE$,$BC = BE$.
(1)求证:$AB = BD$;
因为$\angle ABC = 90^{\circ}$，所以$\angle DBE = 180^{\circ}-\angle ABC=90^{\circ}$。在$Rt\triangle ABC$和$Rt\triangle DBE$中，$\left\{\begin{array}{l}AC = DE\\BC = BE\end{array}\right.$，根据$HL$定理，可得$Rt\triangle ABC\cong Rt\triangle DBE$。由全等三角形的对应边相等，所以$AB = BD$。
(2)$BF$平分$∠ABC$交AC于点F,G是FB延长线上一点,连接DG,H是线段DG上一点,连接AH交BD于点K,连接KG. 当KB平分$∠AKG$时,求证:$AK = DG + KG$.
因为$BF$平分$\angle ABC$，$\angle ABC = 90^{\circ}$，所以$\angle ABF=\angle DBG = 45^{\circ}$。又因为$KB$平分$\angle AKG$，设$\angle AKB=\angle GKB=\alpha$。在$AK$上截取$AM = DG$。由(1)知$AB = BD$。因为$\angle ABF=\angle DBG = 45^{\circ}$，所以$\angle ABD = 90^{\circ}$，$\angle BAM+\angle AKB+\angle ABK = 180^{\circ}$，$\angle BDG+\angle DBG+\angle BGD = 180^{\circ}$，且$\angle ABK+\angle DBG = 90^{\circ}$。又因为$\angle AKB+\angle BKG = 180^{\circ}$，$\angle BGD+\angle BKG = 180^{\circ}$，所以$\angle BAM=\angle BDG$。在$\triangle ABM$和$\triangle DBG$中，$\left\{\begin{array}{l}AB = BD\\\angle BAM=\angle BDG\\AM = DG\end{array}\right.$，根据$SAS$定理，可得$\triangle ABM\cong\triangle DBG$。所以$BM = BG$，$\angle ABM=\angle DBG = 45^{\circ}$。因为$\angle MBK=\angle ABK-\angle ABM$，$\angle GBK=\angle DBG-\angle DBK$，且$\angle ABK=\angle DBK$，所以$\angle MBK=\angle GBK$。在$\triangle MBK$和$\triangle GBK$中，$\left\{\begin{array}{l}BM = BG\\\angle MBK=\angle GBK\\BK = BK\end{array}\right.$，根据$SAS$定理，可得$\triangle MBK\cong\triangle GBK$。所以$MK = KG$。因为$AK=AM + MK$，$AM = DG$，$MK = KG$，所以$AK = DG+KG$。

答案： 【解析】：
(1)
因为$\angle ABC = 90^{\circ}$，所以$\angle DBE = 180^{\circ}-\angle ABC=90^{\circ}$。
在$Rt\triangle ABC$和$Rt\triangle DBE$中，$\left\{\begin{array}{l}AC = DE\\BC = BE\end{array}\right.$，根据$HL$（斜边 - 直角边）定理，可得$Rt\triangle ABC\cong Rt\triangle DBE$。
由全等三角形的对应边相等，所以$AB = BD$。
(2)
因为$BF$平分$\angle ABC$，$\angle ABC = 90^{\circ}$，所以$\angle ABF=\angle DBG = 45^{\circ}$。
又因为$KB$平分$\angle AKG$，设$\angle AKB=\angle GKB=\alpha$。
在$AK$上截取$AM = DG$。
由
(1)知$AB = BD$。
因为$\angle ABF=\angle DBG = 45^{\circ}$，所以$\angle ABD = 90^{\circ}$，$\angle BAM+\angle AKB+\angle ABK = 180^{\circ}$，$\angle BDG+\angle DBG+\angle BGD = 180^{\circ}$，且$\angle ABK+\angle DBG = 90^{\circ}$。
又因为$\angle AKB+\angle BKG = 180^{\circ}$，$\angle BGD+\angle BKG = 180^{\circ}$（邻补角性质），所以$\angle BAM=\angle BDG$。
在$\triangle ABM$和$\triangle DBG$中，$\left\{\begin{array}{l}AB = BD\\\angle BAM=\angle BDG\\AM = DG\end{array}\right.$，根据$SAS$（边角边）定理，可得$\triangle ABM\cong\triangle DBG$。
所以$BM = BG$，$\angle ABM=\angle DBG = 45^{\circ}$。
因为$\angle MBK=\angle ABK-\angle ABM$，$\angle GBK=\angle DBG-\angle DBK$，且$\angle ABK=\angle DBK$（$KB$平分$\angle AKG$），所以$\angle MBK=\angle GBK$。
在$\triangle MBK$和$\triangle GBK$中，$\left\{\begin{array}{l}BM = BG\\\angle MBK=\angle GBK\\BK = BK\end{array}\right.$，根据$SAS$（边角边）定理，可得$\triangle MBK\cong\triangle GBK$。
所以$MK = KG$。
因为$AK=AM + MK$，$AM = DG$，$MK = KG$，所以$AK = DG+KG$。
【答案】：
(1) 证明见上述解析。
(2) 证明见上述解析。