《2025年启航新课堂八年级数学上册人教版》

例2 如图，在$\triangle ABC$中，$AD$平分$\angle BAC$，$DE\perp AB$于点$E$，$DF\perp AC$于点$F$，$BD = CD$。求证：$\angle B=\angle C$。
证明：因为$AD$平分$\angle BAC$，$DE\perp AB$，$DF\perp AC$，所以$DE=DF$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。在$Rt\triangle BDE$和$Rt\triangle CDF$中，因为$BD=CD$，$DE=DF$，所以$Rt\triangle BDE\cong Rt\triangle CDF$（HL）。所以$\angle B=\angle C$（全等三角形的对应角相等）。

答案： 【解析】：
1. 首先，根据角平分线的性质：
因为$AD$平分$\angle BAC$，$DE\perp AB$，$DF\perp AC$，根据角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”，所以$DE = DF$。
2. 然后，证明$\triangle BDE\cong\triangle CDF$：
在$Rt\triangle BDE$和$Rt\triangle CDF$中，已知$BD = CD$，$DE = DF$。
根据“斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”（HL定理），可以得出$\triangle BDE\cong\triangle CDF$。
3. 最后，根据全等三角形的性质：
因为全等三角形的对应角相等，$\triangle BDE\cong\triangle CDF$，所以$\angle B=\angle C$。
【答案】：$\angle B=\angle C$

2. 如图，在$\text{Rt}\triangle ABC$中，$\angle A = 90^{\circ}$，$BP$平分$\angle ABC$交$AC$于点$P$。若$PA = 4$，$BC = 13$，则$\triangle BCP$的面积是 (D)
A. $52$
B. $13$
C. $45$
D. $26$

答案： D

3. 如图，在$\triangle ABC$中，$AD$平分$\angle BAC$，$\angle C = 90^{\circ}$，$DE\perp AB$于点$E$，点$F$在$AC$上，$BD = DF$。
(1) 求证：$CF = EB$；
(2) 若$AB = 12$，$AF = 8$，求$CF$的长。

(1) 证明略. (2) $CF=$2.

答案： （1）证明略.（2）$CF = 2$.

例3 如图，在四边形$ABCD$中，$BC＞BA$，$AD = DC$，$BD$平分$\angle ABC$。求证：$\angle BAD+\angle BCD = 180^{\circ}$。

证明：过点$D$作$DE\perp AB$交$BA$的延长线于点$E$，作$DF\perp BC$于点$F$。因为$BD$平分$\angle ABC$，$DE\perp AB$，$DF\perp BC$，根据角平分线的性质可知$DE = DF$。在$Rt\triangle ADE$和$Rt\triangle CDF$中，$AD = DC$，$DE = DF$，所以$Rt\triangle ADE\cong Rt\triangle CDF(HL)$，则$\angle EAD=\angle BCD$。因为$\angle EAD+\angle BAD = 180^{\circ}$，所以$\angle BAD+\angle BCD = 180^{\circ}$。

答案： 【解析】：过点$D$作$DE\perp AB$交$BA$的延长线于点$E$，作$DF\perp BC$于点$F$。
因为$BD$平分$\angle ABC$，$DE\perp AB$，$DF\perp BC$，根据角平分线的性质可知$DE = DF$。
在$Rt\triangle ADE$和$Rt\triangle CDF$中，$AD = DC$，$DE = DF$，所以$Rt\triangle ADE\cong Rt\triangle CDF(HL)$，则$\angle EAD=\angle BCD$。
因为$\angle EAD+\angle BAD = 180^{\circ}$，所以$\angle BAD+\angle BCD = 180^{\circ}$。
【答案】：通过过点$D$作$DE\perp AB$交$BA$延长线于$E$，作$DF\perp BC$于$F$，利用角平分线性质得$DE = DF$，证明$Rt\triangle ADE\cong Rt\triangle CDF$，得出$\angle EAD=\angle BCD$，再由$\angle EAD+\angle BAD = 180^{\circ}$证得$\angle BAD+\angle BCD = 180^{\circ}$。

4. 如图，$AB// CD$，$\angle BAC$与$\angle DCA$的平分线相交于点$P$。若$PE\perp AC$于点$E$，且$PE = 3$，则$AB$与$CD$之间的距离是______6。

答案： 6