《2025年启航新课堂八年级数学上册人教版》

5. 如图，已知 $ \angle A = 30^\circ $，$ AB = BC $，$ D $ 是射线 $ AE $ 上的一个动点。当 $ BD + CD $ 最短时，$ \angle ABD $ 的度数是$ 90 ^ { \circ } $。

答案： $ 90 ^ { \circ } $

6. 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，以 $ BC $ 为底边在 $ \triangle ABC $ 外作等腰 $ \triangle BCP $，作 $ \angle BPC $ 的平分线分别交 $ AB $，$ BC $ 于点 $ F $，$ E $。若 $ BC = 12 $，$ AC = 5 $，$ \triangle ABC $ 的周长为 30，$ M $ 是直线 $ PF $ 上的一个动点，则 $ \triangle MAC $ 周长的最小值为18。

答案： 18

7. 如图，$ P $，$ Q $ 为 $ \angle MON $ 内两点，分别在 $ OM $ 与 $ ON $ 上找点 $ A $，$ B $，使四边形 $ PABQ $ 的周长最小。

作点$P$关于$OM$的对称点$P'$，作点$Q$关于$ON$的对称点$Q'$，连接$P'Q'$，分别交$OM$于点$A$，交$ON$于点$B$，则$A$，$B$即为所求。

答案： 【解析】：
1. 作点$P$关于$OM$的对称点$P'$，作点$Q$关于$ON$的对称点$Q'$。
理由：根据对称点的性质，对称轴是对称点连线的垂直平分线，所以$PA = P'A$，$QB = Q'B$。此时四边形$PABQ$的周长$= PA + AB + BQ+PQ=P'A + AB + BQ'+PQ$。
2. 连接$P'Q'$，分别交$OM$于点$A$，交$ON$于点$B$。
理由：根据两点之间线段最短，$P'A + AB + BQ'$的最小值为$P'Q'$的长度，所以此时四边形$PABQ$的周长最小。
【答案】：作点$P$关于$OM$的对称点$P'$，作点$Q$关于$ON$的对称点$Q'$，连接$P'Q'$，分别交$OM$于点$A$，交$ON$于点$B$，则$A$，$B$即为所求。

8. 如图，在 $ \text{Rt} \triangle ABC $ 中，$ \angle ACB = 90^\circ $，$ AC = 5 $，$ BC = 12 $，$ AB = 13 $，$ BD $ 是 $ \angle ABC $ 的平分线。若 $ G $，$ E $ 分别是 $ BD $ 和 $ BC $ 上的动点，则 $ GC + GE $ 的最小值是（B）

A. 5
B. $ \dfrac{60}{13} $
C. 4.8
D. 4.9

答案： B

9. 如图，牧童从点 $ A $ 处赶了几只羊到草地 $ l_1 $ 放牧，然后赶羊到小河 $ l_2 $ 饮水，之后再回到点 $ B $ 处的家。假设牧童赶羊走的都是直路，请你为他设计一条最短的路线，标明放羊与饮水的位置。

作点$A$关于$l_{1}$的对称点$A'$，作点$B$关于$l_{2}$的对称点$B'$，连接$A'B'$，分别交$l_{1}$于$C$，交$l_{2}$于$D$，则$A→C→D→B$为最短路线，$C$为放羊位置，$D$为饮水位置。

答案： 【解析】：
这是一道利用轴对称性质求最短路径的几何问题。解题的关键在于通过作点关于直线的对称点，将折线转化为直线，利用“两点之间线段最短”来确定最短路线。
- **作对称点**：
作点$A$关于直线$l_{1}$的对称点$A'$。根据轴对称的性质，直线$l_{1}$是线段$AA'$的垂直平分线，所以$A$与$A'$到直线$l_{1}$上任意一点的距离相等。
作点$B$关于直线$l_{2}$的对称点$B'$。同理，直线$l_{2}$是线段$BB'$的垂直平分线，$B$与$B'$到直线$l_{2}$上任意一点的距离相等。
- **确定最短路线**：
连接$A'B'$，分别交$l_{1}$于点$C$，交$l_{2}$于点$D$。
根据“两点之间线段最短”，此时$AC + CD + DB = A'C + CD + DB' = A'B'$，所以路径$A→C→D→B$就是所求的最短路线。其中$C$为放羊的位置，$D$为饮水的位置。
【答案】：
作点$A$关于$l_{1}$的对称点$A'$，作点$B$关于$l_{2}$的对称点$B'$，连接$A'B'$，分别交$l_{1}$于$C$，交$l_{2}$于$D$，则$A→C→D→B$为最短路线，$C$为放羊位置，$D$为饮水位置。

10. 如图，某条护城河在 $ CC' $ 处直角转弯，河宽均为 5m，从点 $ A $ 到达点 $ B $，须经过两座桥（桥宽不计，桥与河垂直）。要使从点 $ A $ 到点 $ B $ 的路程最短，两座桥的位置应建在哪？请确定两座桥的位置。
过$A$作$AC$的垂线，截取$AA' = 5m$；过$B$作$BN$的垂线，截取$BB' = 5m$，连接$A'B'$，分别交$CM$，$C'N$于$D$，$E$。过$D$作$DF\perp CM$交$CN$于$F$，过$E$作$EG\perp C'N$交$CM$于$G$，$DF$，$EG$即为两座桥的位置。

答案： 【解析】：
本题可通过平移的方法，将路径转化为直线，根据两点之间线段最短来确定桥的位置。
**步骤一：进行平移操作**
过$A$作$AC$的垂线，并在垂线上截取$AA' = 5m$（河宽）；过$B$作$BN$的垂线，并在垂线上截取$BB' = 5m$（河宽）。
**步骤二：连接$A'B'$，确定桥的位置**
连接$A'B'$，分别交$CM$，$C'N$于$D$，$E$两点。
过$D$作$DF\perp CM$交$CN$于$F$，过$E$作$EG\perp C'N$交$CM$于$G$。
此时$DF$，$EG$即为桥的位置。
理由如下：
平移后$AF = A'D$，$BG = B'E$，那么$A$到$B$的路程$= AF + FG + GB=A'D + DE + B'E$。
根据两点之间线段最短，$A'$，$D$，$E$，$B'$共线时$A'D + DE + B'E$最短，也就是$A$到$B$的路程最短。
【答案】：过$A$作$AC$的垂线，截取$AA' = 5m$；过$B$作$BN$的垂线，截取$BB' = 5m$，连接$A'B'$，分别交$CM$，$C'N$于$D$，$E$。过$D$作$DF\perp CM$交$CN$于$F$，过$E$作$EG\perp C'N$交$CM$于$G$，$DF$，$EG$即为两座桥的位置。