《2025年启航新课堂八年级数学上册人教版》

5. (1) 如图①，$\angle BAD = 90^{\circ}$，$AB = AD$，过点$B$作$BC\perp AC$于点$C$，过点$D$作$DE\perp AC$于点$E$。由$\angle 1+\angle 2=\angle 2+\angle D = 90^{\circ}$，得$\angle 1=\angle D$。$\because\angle ACB=\angle AED = 90^{\circ}$，可以推理得到$\triangle ABC\cong\triangle DAE$。进而得到$AC =$$DE$，$BC = AE$。我们把这个数学模型称为“$K$字”模型或“一线三等角”模型；
(2) 如图②，$\angle BAD=\angle CAE = 90^{\circ}$，$AB = AD$，$AC = AE$，连接$BC$，$DE$，且$BC\perp AF$于点$F$，$DE$与直线$AF$交于点$G$。求证：$G$是$DE$的中点。

答案： （1）
因为$\triangle ABC\cong\triangle DAE$（$AAS$，$\angle1 = \angle D$，$\angle ACB=\angle AED = 90^{\circ}$，$AB = AD$），根据全等三角形对应边相等，所以$AC = DE$。
（2）
解：过点$D$作$DH\perp AF$于点$H$。
因为$\angle BAD = 90^{\circ}$，$BC\perp AF$，$DH\perp AF$，所以$\angle BFA=\angle AHD = 90^{\circ}$，$\angle 1+\angle 2=\angle 2+\angle D = 90^{\circ}$，则$\angle 1=\angle D$。
在$\triangle ABF$和$\triangle DAH$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle BFA=\angle AHD\\\angle1 = \angle D\\AB = DA\end{array}\right.$，所以$\triangle ABF\cong\triangle DAH(AAS)$，所以$BF = AH$。
因为$\angle CAE = 90^{\circ}$，$BC\perp AF$，所以$\angle BFA=\angle AEC = 90^{\circ}$，$\angle 3+\angle 4=\angle 4+\angle E = 90^{\circ}$，则$\angle 3=\angle E$。
在$\triangle ABC$和$\triangle EAG$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle BFA=\angle AGE\\\angle3=\angle E\\AC = AE\end{array}\right.$，所以$\triangle ACF\cong\triangle EAG(AAS)$，所以$CF = AG$。
又因为$AC = AE$，$\angle CAF+\angle EAG = 90^{\circ}$，$\angle EAG+\angle AEG = 90^{\circ}$，所以$\angle CAF=\angle AEG$，$\angle AFC=\angle EGA = 90^{\circ}$，$\triangle AFC\cong\triangle EGA(AAS)$，$CF = AG$。
因为$\angle DGH+\angle AGD = 180^{\circ}$，$\angle DHA=\angle EGA = 90^{\circ}$，$DH = BF$（由$\triangle ABF\cong\triangle DAH$），$BF = AG$（可通过角度关系和全等进一步推导，这里利用$K -$字模型拓展）。
在$\triangle DGH$和$\triangle EGA$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle DHG=\angle EGA\\\angle DGH=\angle EGA\\DH = EG\end{array}\right.$（$DH = BF$，$BF = AG$，$AG = EG$由$\triangle ACF\cong\triangle EAG$）。
或者：
因为$\angle BAD=\angle CAE = 90^{\circ}$，所以$\angle BAC+\angle CAD=\angle DAE+\angle CAD$，即$\angle BAC=\angle DAE$。
又因为$AB = AD$，$AC = AE$，所以$\triangle ABC\cong\triangle ADE(SAS)$，则$BC = DE$，$\angle ABC=\angle ADE$。
因为$BC\perp AF$，过$D$作$DM\perp AF$于$M$，$\angle BFA=\angle DMA = 90^{\circ}$。
由$\angle BAD = 90^{\circ}$，得$\angle ABF+\angle BAF=\angle DAM+\angle BAF = 90^{\circ}$，所以$\angle ABF=\angle DAM$。
又$AB = DA$，所以$\triangle ABF\cong\triangle DAM(AAS)$，所以$BF = AM$。
因为$\angle CAE = 90^{\circ}$，$\angle BFA=\angle AEC = 90^{\circ}$，$\angle FAC+\angle EAG=\angle EAG+\angle AEG = 90^{\circ}$，所以$\angle FAC=\angle AEG$，$AC = AE$，所以$\triangle ACF\cong\triangle EAG(AAS)$，所以$CF = AG$，$BF = AG$。
因为$\angle DMG=\angle EGG = 90^{\circ}$，$\angle DGM=\angle EGG$，$DM = BF$（$\triangle ABF\cong\triangle DAM$），$BF = AG$，$AG = EG$（$\triangle ACF\cong\triangle EAG$）。
另一种方法：
因为$\angle BAD=\angle CAE = 90^{\circ}$，所以$\angle BAC+\angle CAD=\angle DAE+\angle CAD$，即$\angle BAC=\angle DAE$。
又$AB = AD$，$AC = AE$，所以$\triangle ABC\cong\triangle ADE(SAS)$，所以$\angle ABC=\angle ADE$。
过$D$作$DN\perp AF$交$AF$的延长线于$N$。
因为$\angle BFA=\angle DNA = 90^{\circ}$，$\angle BAD = 90^{\circ}$，所以$\angle ABF+\angle BAF=\angle DAN+\angle BAF = 90^{\circ}$，则$\angle ABF=\angle DAN$。
又$AB = DA$，所以$\triangle ABF\cong\triangle DAN(AAS)$，所以$BF = AN$。
因为$\angle CAE = 90^{\circ}$，$\angle BFA=\angle AEC = 90^{\circ}$，$\angle CAF+\angle EAG=\angle EAG+\angle AEG = 90^{\circ}$，所以$\angle CAF=\angle AEG$，$AC = AE$，所以$\triangle ACF\cong\triangle EAG(AAS)$，所以$CF = AG$，$BF = AG$。
因为$\angle DNG=\angle EGG = 90^{\circ}$，$\angle DGN=\angle EGG$，$\angle GDN=\angle AEG$（$\triangle ABC\cong\triangle ADE$，$\angle ABC=\angle ADE$，$\angle ABC=\angle DAN$，$\angle DAN+\angle ADN = 90^{\circ}$，$\angle AEG+\angle EAG = 90^{\circ}$，$\angle DAN=\angle EAG$），$DN = BF$（$\triangle ABF\cong\triangle DAN$），$BF = AG$，$AG = EG$（$\triangle ACF\cong\triangle EAG$）。
最直接的方法：
过$D$作$DM\perp AF$于$M$，过$E$作$EN\perp AF$交$AF$的延长线于$N$。
因为$\angle BAD = 90^{\circ}$，$\angle BFA=\angle DMA = 90^{\circ}$，所以$\angle ABF+\angle BAF=\angle DAM+\angle BAF = 90^{\circ}$，则$\angle ABF=\angle DAM$。
又$AB = DA$，所以$\triangle ABF\cong\triangle DAM(AAS)$，所以$DM = BF$。
因为$\angle CAE = 90^{\circ}$，$\angle BFA=\angle AEN = 90^{\circ}$，$\angle CAF+\angle EAN=\angle EAN+\angle AEN = 90^{\circ}$，所以$\angle CAF=\angle AEN$。
又$AC = AE$，所以$\triangle ACF\cong\triangle EAN(AAS)$，所以$BF = EN$（$BF = AG$，$EN = AG$）。
在$\triangle DMG$和$\triangle ENG$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle DMG=\angle ENG\\\angle DGM=\angle EGG\\DM = EN\end{array}\right.$，所以$\triangle DMG\cong\triangle ENG(AAS)$，所以$DG = EG$，即$G$是$DE$的中点。
综上，（1）$DE$；（2）证明过程如上述，$G$是$DE$的中点。

6. (1) 如图①，在$\triangle ABC$中，$\angle BAC = 90^{\circ}$，$AB = AC$，直线$m$经过点$A$，$BD\perp$直线$m$，$CE\perp$直线$m$，垂足分别为$D$，$E$。求证：$DE = BD + CE$；
(2) 如图②，将(1)中的条件改为：在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$D$，$A$，$E$三点都在直线$m$上，并且$\angle BDA=\angle AEC=\angle BAC=\alpha$，其中$\alpha$为任意锐角或钝角。那么结论$DE = BD + CE$是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由。
(3) 如图③，将(1)中的条件改为：$AB = AC$，$A$，$E$，$D$三点都在直线$m$上，且$\angle BDF=\angle DEC=\angle BAC=\beta$，其中$\beta$为任意锐角。那么结论$DE = BD + CE$是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由。

答案： $(1)$ 证明$DE = BD + CE$
解：
因为$BD\perp$直线$m$，$CE\perp$直线$m$，所以$\angle BDA=\angle AEC = 90^{\circ}$。
因为$\angle BAC = 90^{\circ}$，所以$\angle BAD+\angle CAE = 90^{\circ}$。
又因为$\angle BAD+\angle ABD = 90^{\circ}$，所以$\angle CAE=\angle ABD$。
在$\triangle ABD$和$\triangle CAE$中：
$\begin{cases}\angle BDA=\angle AEC\\\angle ABD=\angle CAE\\AB = AC\end{cases}$
所以$\triangle ABD\cong\triangle CAE(AAS)$。
则$BD = AE$，$AD = CE$。
因为$DE=AD + AE$，所以$DE = BD + CE$。
$(2)$ 判断$DE = BD + CE$是否成立并证明
解：
结论$DE = BD + CE$仍然成立。
因为$\angle BDA=\angle BAC=\alpha$，所以$\angle DBA+\angle BAD=\angle BAD +\angle CAE = 180^{\circ}-\alpha$，所以$\angle DBA=\angle CAE$。
在$\triangle ABD$和$\triangle CAE$中：
$\begin{cases}\angle BDA=\angle AEC\\\angle DBA=\angle CAE\\AB = AC\end{cases}$
所以$\triangle ABD\cong\triangle CAE(AAS)$。
则$BD = AE$，$AD = CE$。
因为$DE=AD + AE$，所以$DE = BD + CE$。
$(3)$ 判断$DE = BD + CE$是否成立并说明理由
解：
结论$DE = BD + CE$不成立，$DE = BD - CE$。
因为$\angle BDF=\angle DEC=\angle BAC=\beta$，所以$\angle DBA+\angle BAD=\angle BAD+\angle CAE = 180^{\circ}-\beta$，所以$\angle DBA=\angle CAE$。
因为$\angle BDA = 180^{\circ}-\angle BDF$，$\angle AEC = 180^{\circ}-\angle DEC$，所以$\angle BDA=\angle AEC$。
在$\triangle ABD$和$\triangle CAE$中：
$\begin{cases}\angle BDA=\angle AEC\\\angle DBA=\angle CAE\\AB = AC\end{cases}$
所以$\triangle ABD\cong\triangle CAE(AAS)$。
则$BD = AE$，$AD = CE$。
因为$DE=AE - AD$，所以$DE = BD - CE$。
综上，$(1)$ 得证$DE = BD + CE$；$(2)$ 结论$\boldsymbol{DE = BD + CE}$成立；$(3)$ 结论$\boldsymbol{DE = BD + CE}$ 不成立，理由是$DE = BD - CE$。