《2025年启航新课堂八年级数学上册人教版》

5. 如图，在四边形ABCD中，AD//BC，E为AB上一点，CE平分∠BCD，DE平分∠ADC. 求证：E为AB的中点.

【请尝试用多种方法证明】
证明：方法一：过点E作EF// AD交CD于F。因为AD// BC，EF// AD，所以AD// EF// BC。由于DE平分∠ADC，则∠ADE=∠FDE，又因为AD// EF，所以∠ADE=∠DEF，那么∠FDE=∠DEF，所以DF = EF。同理，因为CE平分∠BCD，EF// BC，可得∠BCE=∠FCE，∠BCE=∠FEC，所以∠FCE=∠FEC，则CF = EF，所以DF = CF，即F为CD中点。又因为AD// EF// BC，根据平行线分线段成比例定理，可得E为AB中点。方法二：延长DE交CB的延长线于点F。因为AD// BC，所以∠ADE=∠F，又因为DE平分∠ADC，所以∠ADE=∠CDE，那么∠CDE=∠F，所以CD = CF。因为CE平分∠BCD，根据等腰三角形三线合一，可得DE = EF。在△ADE和△BFE中，∠ADE=∠F，∠AED=∠BEF，DE = EF，所以△ADE≌△BFE(AAS)，则AE = BE，即E为AB中点。

答案： 【解析】：
方法一：
过点$E$作$EF// AD$交$CD$于$F$。
因为$AD// BC$，$EF// AD$，所以$AD// EF// BC$。
由于$DE$平分$\angle ADC$，则$\angle ADE=\angle FDE$，又因为$AD// EF$，所以$\angle ADE=\angle DEF$，那么$\angle FDE=\angle DEF$，所以$DF = EF$。
同理，因为$CE$平分$\angle BCD$，$EF// BC$，可得$\angle BCE=\angle FCE$，$\angle BCE=\angle FEC$，所以$\angle FCE=\angle FEC$，则$CF = EF$，所以$DF = CF$，即$F$为$CD$中点。
又因为$AD// EF// BC$，根据平行线分线段成比例定理，可得$E$为$AB$中点。
方法二：
延长$DE$交$CB$的延长线于点$F$。
因为$AD// BC$，所以$\angle ADE=\angle F$，又因为$DE$平分$\angle ADC$，所以$\angle ADE=\angle CDE$，则$\angle CDE=\angle F$，所以$CD = CF$。
因为$CE$平分$\angle BCD$，根据等腰三角形三线合一，可得$DE = EF$。
在$\triangle ADE$和$\triangle BFE$中，$\angle ADE=\angle F$，$\angle AED=\angle BEF$，$DE = EF$，所以$\triangle ADE\cong\triangle BFE(AAS)$，则$AE = BE$，即$E$为$AB$中点。
【答案】：$E$为$AB$的中点。

6. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E，F分别在BD，AD上，且DE=CD，EF=AC. 求证：EF//AB.


证明：过点$C$作$CM// EF$交$AD$的延长线于点$M$。
因为$CM// EF$，所以$\angle EFD = \angle M$。
在$\triangle DEF$和$\triangle DCM$中，
$\begin{cases}\angle EFD=\angle M\\\angle EDF=\angle MDC\\DE = CD\end{cases}$
所以$\triangle DEF\cong\triangle DCM(AAS)$，则$EF = CM$。
又因为$EF = AC$，所以$CM = AC$，所以$\angle M=\angle CAD$。
因为$AD$平分$\angle BAC$，所以$\angle BAD=\angle CAD$。
又因为$\angle EFD=\angle M$，$\angle M=\angle CAD$，$\angle BAD=\angle CAD$，所以$\angle EFD=\angle BAD$。
所以$EF// AB$（内错角相等，两直线平行）。

答案： 【解析】：
过点$C$作$CM// EF$交$AD$的延长线于点$M$。
因为$CM// EF$，所以$\angle EFD = \angle M$。
在$\triangle DEF$和$\triangle DCM$中，
$\begin{cases}\angle EFD=\angle M\\\angle EDF=\angle MDC\\DE = CD\end{cases}$
所以$\triangle DEF\cong\triangle DCM(AAS)$，则$EF = CM$。
又因为$EF = AC$，所以$CM = AC$，所以$\angle M=\angle CAD$。
因为$AD$平分$\angle BAC$，所以$\angle BAD=\angle CAD$。
又因为$\angle EFD=\angle M$，$\angle M=\angle CAD$，$\angle BAD=\angle CAD$，所以$\angle EFD=\angle BAD$。
根据内错角相等，两直线平行，可得$EF// AB$。
【答案】：
过点$C$作$CM// EF$交$AD$的延长线于点$M$。
因为$CM// EF$，所以$\angle EFD = \angle M$。
在$\triangle DEF$和$\triangle DCM$中，
$\begin{cases}\angle EFD=\angle M\\\angle EDF=\angle MDC\\DE = CD\end{cases}$
所以$\triangle DEF\cong\triangle DCM(AAS)$，则$EF = CM$。
又因为$EF = AC$，所以$CM = AC$，所以$\angle M=\angle CAD$。
因为$AD$平分$\angle BAC$，所以$\angle BAD=\angle CAD$。
又因为$\angle EFD=\angle M$，$\angle M=\angle CAD$，$\angle BAD=\angle CAD$，所以$\angle EFD=\angle BAD$。
所以$EF// AB$（内错角相等，两直线平行）。