《2025年启航新课堂八年级数学上册人教版》

5. 如图,在$△ABC$中,AD 平分$∠BAC$交 BC 于点 D,且$∠ABC=2∠C$. 求证:$AB+BD=AC$.(请用多种方法证明)

证明：
**方法一：在$AC$上截取$AE = AB$，连接$DE$。**
因为$AD$平分$\angle BAC$，所以$\angle BAD=\angle EAD$。
在$\triangle ABD$和$\triangle AED$中，$\begin{cases}AB = AE\\\angle BAD=\angle EAD\\AD = AD\end{cases}$，根据$SAS$（边角边）定理可得$\triangle ABD\cong\triangle AED$。
所以$BD = ED$，$\angle B=\angle AED$。
又因为$\angle ABC = 2\angle C$，$\angle AED=\angle C+\angle EDC$，所以$\angle C=\angle EDC$，则$ED = EC$。
因为$AC=AE + EC$，$AE = AB$，$EC = BD$，所以$AB + BD=AC$。
**方法二：延长$AB$到$E$，使$BE = BD$，连接$DE$。**
因为$BE = BD$，所以$\angle E=\angle BDE$，$\angle ABC=\angle E+\angle BDE = 2\angle E$。
又因为$\angle ABC = 2\angle C$，所以$\angle E=\angle C$。
因为$AD$平分$\angle BAC$，所以$\angle EAD=\angle CAD$。
在$\triangle AED$和$\triangle ACD$中，$\begin{cases}\angle E=\angle C\\\angle EAD=\angle CAD\\AD = AD\end{cases}$，根据$AAS$（角角边）定理可得$\triangle AED\cong\triangle ACD$。
所以$AC = AE$，而$AE=AB + BE$，$BE = BD$，所以$AB + BD=AC$。

答案： 【解析】：
**方法一：在$AC$上截取$AE = AB$，连接$DE$。**
因为$AD$平分$\angle BAC$，所以$\angle BAD=\angle EAD$。
在$\triangle ABD$和$\triangle AED$中，$\begin{cases}AB = AE\\\angle BAD=\angle EAD\\AD = AD\end{cases}$，根据$SAS$（边角边）定理可得$\triangle ABD\cong\triangle AED$。
所以$BD = ED$，$\angle B=\angle AED$。
又因为$\angle ABC = 2\angle C$，$\angle AED=\angle C+\angle EDC$，所以$\angle C=\angle EDC$，则$ED = EC$。
因为$AC=AE + EC$，$AE = AB$，$EC = BD$，所以$AB + BD=AC$。
**方法二：延长$AB$到$E$，使$BE = BD$，连接$DE$。**
因为$BE = BD$，所以$\angle E=\angle BDE$，$\angle ABC=\angle E+\angle BDE = 2\angle E$。
又因为$\angle ABC = 2\angle C$，所以$\angle E=\angle C$。
因为$AD$平分$\angle BAC$，所以$\angle EAD=\angle CAD$。
在$\triangle AED$和$\triangle ACD$中，$\begin{cases}\angle E=\angle C\\\angle EAD=\angle CAD\\AD = AD\end{cases}$，根据$AAS$（角角边）定理可得$\triangle AED\cong\triangle ACD$。
所以$AC = AE$，而$AE=AB + BE$，$BE = BD$，所以$AB + BD=AC$。
【答案】：证明过程如上述解析，可通过在$AC$上截取$AE = AB$（方法一）或延长$AB$到$E$使$BE = BD$（方法二）证明$AB + BD=AC$。