《2025年启航新课堂八年级数学上册人教版》

1. 等边三角形的定义
三边都相等的三角形是等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。

答案： 【解析】：根据等边三角形的定义，三边都相等的三角形是等边三角形，这是等边三角形的基本特征，且等边三角形满足等腰三角形（至少两边相等）的条件，是特殊的等腰三角形。
【答案】：相等

2. 等边三角形的性质
(1) 等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于60°；
(2) 等边三角形具有等腰三角形的性质，且有3 条对称轴。

答案： 【解析】：1. 因为三角形内角和为 180°，等边三角形三个角相等，所以每一个角都等于 180°÷3 = 60°。2. 等腰三角形有 1 条对称轴，等边三角形有 3 条对称轴，所以等边三角形具有等腰三角形的性质，且有 3 条对称轴。
【答案】：
(1)60°
(2)3 条

3. 等边三角形的判定
(1) 三个角都相等的三角形是等边三角形；
(2) 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
注：①等边三角形的性质揭示了等边三角形的特殊性，所有的边相等，所有的角相等；②等边三角形的定义和判定说明了证明一个三角形是等边三角形有三条途径：证明三条边相等；证明三个角相等；证明该三角形是等腰三角形且有一个角为60°。

答案： 【解析】：1. 根据等边三角形的判定定理，三个角都相等的三角形是等边三角形，因为三角形内角和为180°，三个角相等则每个角都是60°，满足等边三角形的特征。2. 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，若等腰三角形的一个角是60°，当这个角是顶角时，根据等腰三角形两底角相等，可算出两底角也都是60°；当这个角是底角时，另一个底角也是60°，那么顶角同样是60°，所以是等边三角形。
【答案】：
(1)相等
(2)60°；等腰

例1 如图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形。求证：AE=CD。

证明：∵△ABC和△BDE都是等边三角形，
∴AB=BC，BE=BD，∠ABC=∠DBE=60°。
∴∠ABC-∠EBC=∠DBE-∠EBC，即∠ABE=∠CBD。
在△ABE和△CBD中，
$\begin{cases}AB=BC\\\angle ABE=\angle CBD\\BE=BD\end{cases}$
∴△ABE≌△CBD（SAS）。
∴AE=CD（全等三角形的对应边相等）。

答案： 【解析】：
- 因为$\triangle ABC$和$\triangle BDE$都是等边三角形，所以$AB = BC$，$BE = BD$，$\angle ABC=\angle DBE = 60^{\circ}$。
- 那么$\angle ABC-\angle EBC=\angle DBE-\angle EBC$，即$\angle ABE=\angle CBD$。
- 在$\triangle ABE$和$\triangle CBD$中，$\begin{cases}AB = BC\\\angle ABE=\angle CBD\\BE = BD\end{cases}$，根据“边角边”（$SAS$）定理，可得$\triangle ABE\cong\triangle CBD$。
- 由于全等三角形的对应边相等，所以$AE = CD$。
【答案】：$AE = CD$

1. 如图，AB//CD，△ACE为等边三角形。若∠DCE=40°，则∠EAB的度数为 (C)

A. 40°
B. 30°
C. 20°
D. 15°

答案： C

2. 如图，AD是等边△ABC的中线。若AE=AD，则∠EDC的度数为15°。

答案： $15^{\circ}$

3. 如图，在等边△ABC中，D是AB边上的动点，以CD为边，向上作等边△EDC，连接AE。试说明：
(1) △ACE≌△BCDSAS；
(2) AE//BC内错角相等，两直线平行。

答案： 【解析】：
(1) 因为$\triangle ABC$和$\triangle EDC$都是等边三角形，所以$BC = AC$，$DC = EC$，$\angle BCA=\angle DCE = 60^{\circ}$。
$\angle BCA-\angle DCA=\angle DCE-\angle DCA$，即$\angle BCD=\angle ACE$。
在$\triangle ACE$和$\triangle BCD$中，$\begin{cases}AC = BC\\\angle ACE=\angle BCD\\EC = DC\end{cases}$，根据$SAS$（边角边）定理，可得$\triangle ACE\cong\triangle BCD$。
(2) 由$\triangle ACE\cong\triangle BCD$，可得$\angle CAE=\angle B$。
因为$\triangle ABC$是等边三角形，所以$\angle B=\angle ACB = 60^{\circ}$，则$\angle CAE=\angle ACB$。
根据内错角相等，两直线平行，所以$AE// BC$。
【答案】：
(1) $\triangle ACE\cong\triangle BCD$（$SAS$）；
(2) $AE// BC$ 。