《2025年启航新课堂八年级数学上册人教版》

10. 如图，已知$\triangle A C D$与$\triangle B C E$，其中$AD$与$BE$相交于点$P$. 若$AC = BC$，$AD = BE$，$CD = CE$，$\angle A C E = 55 ^ { \circ }$，$\angle B C D = 155 ^ { \circ }$，则$\angle B P D$的度数为______130°.

答案： $130^{\circ}$

11. 如图①，点$C$，$F$在直线$AD$上，且$AF = DC$，$AB = DE$，$BC = EF$.
(1)求证：$AB // DE$；
(2)观察图②③，指出它们是由图①怎样变换得到的；
图②③都是由图①中的$\triangle DEF$ (或$\triangle ABC$) 沿着直线 $AD$ 平移得到的
(3)在满足已知条件的情况下，根据图②，求证：$BC // EF$.

答案：
(1) 证明略.
(2) 图②③都是由图①中的$\triangle DEF$ (或$\triangle ABC$) 沿着直线 $AD$ 平移得到的.
(3) 证明略.

12. (2024重庆八中期中节选)如图，$AB = AC$，$AD = AE$. 若$\angle B A C = 90 ^ { \circ }$，点$D$，$E$分别在$AB$，$AC$上，连接$BE$，过点$D$作$DH \perp BE$于点$H$，过点$A$作$AF // BC$交$HD$的延长线于点$F$，连接$BF$. 试说明：$BF + D F = B E$.

因为$AB = AC$，$\angle BAC = 90^{\circ}$，所以$\angle ABC=\angle ACB = 45^{\circ}$。又因为$AF// BC$，所以$\angle FAB=\angle ABC = 45^{\circ}$，则$\angle FAB=\angle C = 45^{\circ}$。因为$DH\perp BE$，所以$\angle FHB = 90^{\circ}$，$\angle FBH+\angle F = 90^{\circ}$。又因为$\angle ABE+\angle BEC = 90^{\circ}$，$\angle AEB=\angle BEC$（对顶角相等），$\angle F = \angle AEB$（同角的余角相等）。在$\triangle FAB$和$\triangle EAC$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle F=\angle AEB\\\angle FAB=\angle C\\AB = AC\end{array}\right.$，根据$AAS$可得$\triangle FAB\cong\triangle EAC$。所以$BF = CE$，$AF = AE$。因为$AD = AE$，所以$AF = AD$。在$\triangle FDB$和$\triangle EDA$中，$\left\{\begin{array}{l}AF = AD\\\angle FDB=\angle EDA = 90^{\circ}-\angle HDE\\\angle F=\angle AED\end{array}\right.$（$\angle AED=\angle AEB$，已证$\angle F = \angle AEB$），根据$AAS$可得$\triangle FDB\cong\triangle EDA$。所以$DF = DE$。因为$BE=BD + DE$，$BD = CE$（$\triangle FAB\cong\triangle EAC$），$DF = DE$，所以$BF + DF=BE$。

答案： 【解析】：
- 因为$AB = AC$，$\angle BAC = 90^{\circ}$，所以$\angle ABC=\angle ACB = 45^{\circ}$。
- 又因为$AF// BC$，所以$\angle FAB=\angle ABC = 45^{\circ}$，则$\angle FAB=\angle C = 45^{\circ}$。
- 因为$DH\perp BE$，所以$\angle FHB = 90^{\circ}$，$\angle FBH+\angle F = 90^{\circ}$。
- 又因为$\angle ABE+\angle BEC = 90^{\circ}$，$\angle AEB=\angle BEC$（对顶角相等），$\angle F = \angle AEB$（同角的余角相等）。
- 在$\triangle FAB$和$\triangle EAC$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle F=\angle AEB\\\angle FAB=\angle C\\AB = AC\end{array}\right.$，根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等）可得$\triangle FAB\cong\triangle EAC$。
- 所以$BF = CE$，$AF = AE$。
- 因为$AD = AE$，所以$AF = AD$。
- 在$\triangle FDB$和$\triangle EDA$中，$\left\{\begin{array}{l}AF = AD\\\angle FDB=\angle EDA = 90^{\circ}-\angle HDE\\\angle F=\angle AED\end{array}\right.$（$\angle AED=\angle AEB$，已证$\angle F = \angle AEB$），根据$AAS$可得$\triangle FDB\cong\triangle EDA$。
- 所以$DF = DE$。
- 因为$BE=BD + DE$，$BD = CE$（$\triangle FAB\cong\triangle EAC$），$DF = DE$，所以$BF + DF=BE$。
【答案】：$BF + DF = BE$成立，理由如上述解析。