《2025年启航新课堂八年级数学上册人教版》

6. 已知$a^{2} + a = 2$，则代数式$(a + 2)(a - 2) + a(a + 2)$的值为0。

答案： 0

7. 计算下列各题：
(1)$(\frac{1}{2}x - 2)(\frac{1}{2}x + 2) + ( - 3 + x)( - x - 3)$；
(2)$(5x + 3y)(3y - 5x) - (4x - y)(4y + x)$；
(3)$(x - 3y)(x^{2} + 9y^{2})(x + 3y)$；
(4)$(1 - 2a)(1 + 2a)(1 + 4a^{2})(1 + 16a^{4})$。

答案：
(1)$5-\frac {3}{4}x^{2}$；
(2)$13y^{2}-29x^{2}-15xy$；
(3)$x^{4}-81y^{4}$；
(4)$1-256a^{8}$。

8. (1)已知$3m - n = 1$，则$9m^{2} - n^{2} - 2n$的值为1；
(2)已知$x$与$y$互为相反数，且$(x + 2)^{2} - (y + 1)^{2} = 4$，则$xy$的值为$-\frac{1}{36}$。

答案： 1. $1$ 2. $-\frac{1}{36}$

9. 观察下列各式：
$(x - 1)(x + 1) = x^{2} - 1$；
$(x - 1)(x^{2} + x + 1) = x^{3} - 1$；
$(x - 1)(x^{3} + x^{2} + x + 1) = x^{4} - 1$；
…
(1)根据以上规律，可知$(x - 1)(x^{7} + x^{6} + x^{5} + x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1)=$$x^{8}-1$；
(2)你能否由此归纳出一般性规律：$(x - 1)(x^{n} + x^{n - 1} + \cdots + x + 1)=$$x^{n + 1}-1$；
(3)根据(2)中的规律计算：$1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + \cdots + 2^{2024} + 2^{2025}=$$2^{2026}-1$。

答案： 【解析】：1. 观察所给的式子：$(x - 1)(x + 1)=x^{2}-1$；$(x - 1)(x^{2}+x + 1)=x^{3}-1$；$(x - 1)(x^{3}+x^{2}+x + 1)=x^{4}-1$，可以发现规律为$(x - 1)$与$x$的降幂排列且各项系数为$1$的多项式相乘，结果是$x$的最高次幂加$1$次幂减$1$。所以$(x - 1)(x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x + 1)=x^{8}-1$。
2. 由上述规律可归纳出一般性规律：$(x - 1)(x^{n}+x^{n - 1}+\cdots +x + 1)=x^{n + 1}-1$。
3. 对于$1 + 2+2^{2}+2^{3}+\cdots +2^{2024}+2^{2025}$，可令$x = 2$，$n=2025$，根据$(x - 1)(x^{n}+x^{n - 1}+\cdots +x + 1)=x^{n + 1}-1$，则$(2 - 1)(1 + 2+2^{2}+2^{3}+\cdots +2^{2024}+2^{2025})=2^{2026}-1$，因为$2 - 1 = 1$，所以$1 + 2+2^{2}+2^{3}+\cdots +2^{2024}+2^{2025}=2^{2026}-1$。
【答案】：1.$x^{8}-1$ 2.$x^{n + 1}-1$ 3.$2^{2026}-1$

10.【观察】
下列各式：
①$60×60 = 60^{2} - 0^{2} = 3600$；
②$59×61 = (60 - 1)×(60 + 1) = 60^{2} - 1^{2} = 3599$；
③$58×62 = (60 - 2)×(60 + 2) = 60^{2} - 2^{2} = 3596$；
④$57×63 = (60 - 3)×(60 + 3) = 60^{2} - 3^{2} = 3591$；
…
【探究】
(1)上面的式子表示的规律是：$(60 + m)·(60 - m) =$$60^{2}-m^{2}$；观察各等式的左边发现两个因数之和都是120，而两数乘积却随着两个因数的接近程度在变化，当两个因数相等时，乘积最大；
【应用】
(2)根据上面的规律思考，若$a + b = 400$，则$ab$的最大值是40000；
【拓展】
(3)将一根长40cm的铁丝折成一个长方形，设它的一边长为$xcm$，面积为$Scm^{2}$。用含$x$的式子表示$S$；当$x$为何值时，$S$取得最大值？
$S=$$-x^{2}+20x$；当$x=$10时，$S$取得最大值。

答案： 【解析】：
1. 对于$(60 + m)\cdot(60 - m)$，根据平方差公式$(a+b)(a - b)=a^{2}-b^{2}$，这里$a = 60$，$b = m$，所以$(60 + m)\cdot(60 - m)=60^{2}-m^{2}$。观察各等式左边两个因数之和都是$120$，从①到④可以看出，两个因数越接近，乘积越大，当两个因数相等时，乘积最大。
2. 已知$a + b = 400$，根据上述规律，当$a=b$时，$ab$取得最大值。因为$a + b = 400$，所以$a=b = 200$，此时$ab=200\times200 = 40000$。
3. 已知长方形一边长为$x cm$，因为铁丝长$40cm$，那么长方形的另一边长为$(20 - x)cm$，根据长方形面积公式$S=$长$\times$宽，可得$S=x(20 - x)=-x^{2}+20x$。对于二次函数$y=-x^{2}+20x$，其二次项系数$a=-1\lt0$，图象开口向下，函数在对称轴处取得最大值。对称轴公式为$x =-\frac{b}{2a}$，这里$a=-1$，$b = 20$，则对称轴$x=-\frac{20}{2\times(-1)} = 10$，所以当$x = 10$时，$S$取得最大值。
【答案】：1.$60^{2}-m^{2}$；相等 2.$40000$ 3.$S=-x^{2}+20x$；$x = 10$时，$S$取得最大值。