《2025年启航新课堂八年级数学上册人教版》

3. 如图，在 $ \angle MON $ 的边 $ ON $，$ OM $ 上分别找两点 $ P $，$ Q $，使得 $ AP + PQ + QB $ 的值最小。（不要求写画法）

作点$A$关于$OM$的对称点$A'$，作点$B$关于$ON$的对称点$B'$，连接$A'B'$，分别与$OM$、$ON$交于$Q$、$P$，则$P$、$Q$即为所求。

答案： 【解析】：
根据轴对称的性质，作点$A$关于$OM$的对称点$A'$，作点$B$关于$ON$的对称点$B'$，连接$A'B'$，分别与$OM$、$ON$交于$Q$、$P$，此时$AP + PQ + QB = A'P + PQ + QB' = A'B'$，根据两点之间线段最短，所以$AP + PQ + QB$的值最小。
【答案】：作点$A$关于$OM$的对称点$A'$，作点$B$关于$ON$的对称点$B'$，连接$A'B'$，分别与$OM$、$ON$交于$Q$、$P$，则$P$、$Q$即为所求。

4. 如图，点 $ A $，$ B $ 位于直线 $ l $ 同侧，定长为 $ a $ 的线段 $ MN $ 在直线 $ l $ 上滑动。问：当 $ MN $ 滑动到何处时，折线 $ AMNB $ 的长度最短？

过点$A$作$AA'// l$且$AA' = a$，作点$B$关于$l$的对称点$B'$，连接$A'B'$交直线$l$于点$N$，在直线$l$上沿$l$的方向截取$MN = a$，此时折线$AMNB$长度最短。

答案： 【解析】：
过点$A$作$AA'// l$，且$AA' = a$，
作点$B$关于$l$的对称点$B'$，
连接$A'B'$交直线$l$于点$N$，
在直线$l$上沿$l$的方向截取$MN = a$，
此时折线$AMNB$的长度最短。
理由如下：
因为$AA'// MN$且$AA' = MN$，所以四边形$AMNA'$是平行四边形，则$AM = A'N$。
又因为$B$、$B'$关于$l$对称，所以$BN = B'N$。
那么折线$AMNB$的长度$= AM + MN + NB = A'N+MN + NB'$，
根据两点之间线段最短，$A'B'$为$A'$与$B'$之间的最短距离，此时$A'N + NB'$最小，且$MN$为定长$a$，所以此时折线$AMNB$长度最短。
【答案】：过点$A$作$AA'// l$且$AA' = a$，作点$B$关于$l$的对称点$B'$，连接$A'B'$交直线$l$于点$N$，在直线$l$上沿$l$的方向截取$MN = a$，此时折线$AMNB$长度最短。

1. (2025 开州区开学) 直线 $ l $ 是一条河，$ P $，$ Q $ 是两个村庄，欲在 $ l $ 上的某处修建一个水泵站，向 $ P $，$ Q $ 两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（C）
A.

答案： C

2. 如图，平行河岸两侧各有一城镇 $ P $，$ Q $，根据发展规划，要修建一条公路连接 $ P $，$ Q $ 两镇。已知相同长度桥的造价远大于陆上公路的造价。为了尽量减少总造价，应该选择方案（C）

答案： C

3. 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ AB $ 的垂直平分线 $ EF $ 分别交 $ AB $，$ AC $ 边于点 $ E $，$ F $，$ K $ 为 $ EF $ 上一动点，则 $ BK + CK $ 的最小值是以下哪条线段的长度（C）

A. $ EF $
B. $ AB $
C. $ AC $
D. $ BC $

答案： C

4. 如图，$ P $ 为 $ \angle AOB $ 内一点，分别作点 $ P $ 关于 $ OA $，$ OB $ 的对称点 $ P_1 $，$ P_2 $，连接点 $ P_1 $，$ P_2 $，交 $ OA $ 于点 $ M $，交 $ OB $ 于点 $ N $。若 $ P_1P_2 = 6 $，则 $ \triangle PMN $ 的周长为（C）

A. 4
B. 5
C. 6
D. 7

答案： C