《2025年启航新课堂八年级数学上册人教版》

6. （1）若$x^{m}\cdot x^{2m}=2$，则$x^{9m}=$8；
（2）若$x^{5}\cdot(x^{a})^{3}=x^{11}$，则$a=$2；
（3）若$(a^{m + 4})^{2}=a^{3m}$，则$m=$8。

答案：
(1)8；
(2)2；
(3)8

7. （1）若$a^{n}=-3$，$b^{n}=7$，则$(ab)^{n}=$-21；
（2）若$a^{n}=3$，$b^{2n}=4$，则$(ab^{2})^{2n}=$144；
（3）若$A^{3}=-27a^{6}b^{9}$，则$A=$$-3a^{2}b^{3}$。

答案：
(1)-21；
(2)144；
(3)$-3a^{2}b^{3}$

8. 计算下列各题：
（1）$(-2a^{2}bc^{3})^{4}$；
（2）$(-3a^{3})^{2}-[(2a)^{2}]^{3}$；
（3）$a^{3}\cdot a\cdot a^{4}-(2a^{2})^{4}+(-3a^{4})^{2}$；
（4）$(-2a^{2}b^{3})^{4}+(-a)^{8}\cdot(2b^{4})^{3}$。

答案：
(1)$16a^{8}b^{4}c^{12}$；
(2)$-55a^{6}$；
(3)$-6a^{8}$；
(4)$24a^{8}b^{12}$．

9. 已知$a = 3^{13}$，$b = 9^{6}$，$c = 27^{5}$，则$a$，$b$，$c$的大小关系为（A）
A. $c ＞ a ＞ b$
B. $b ＞ a ＞ c$
C. $a ＞ b ＞ c$
D. $a ＞ c ＞ b$

答案： A

10. （1）若$4a + 3b = 3$，则$9^{2a}\cdot27^{b}$的值为27；
（2）已知$x^{2n}=4$，则$2(x^{3n})^{2}-3(x^{2})^{2n}$的值为80；
（3）已知$9^{n + 1}-3^{2n}=72$，则$n$的值为1。

答案：
(1)27；
(2)80；
(3)1

11. 幂的运算性质在一定条件下具有可逆性，如$a^{m}b^{m}=(ab)^{m}$，则$(ab)^{m}=a^{m}b^{m}$，其中$a$，$b$为非负数，$m$为正整数。请运用所学知识解答下列问题：
（1）已知$2^{x + 3}\cdot3^{x + 3}=36^{x - 2}$，求$x$的值；7
（2）已知$3×2^{x + 1}×4^{x + 1}=192$，求$x$的值。1

答案：
(1)$x = 7$．
(2)$x = 1$．

12. 试说明：$5^{2}\times3^{2n + 1}\times2^{n}-3^{n}\times6^{n + 2}$（$n$为整数）能被$13$整除。

答案： 【解析】：
本题可先根据幂的运算法则对原式进行化简，再判断化简后的式子是否能被$13$整除。
- **步骤一：对$5^{2}\times3^{2n + 1}\times2^{n}-3^{n}\times6^{n + 2}$进行化简**
计算$5^{2}=25$。
根据幂的运算法则$(ab)^m=a^m\times b^m$，将$6^{n + 2}$变形为$(2\times3)^{n + 2}=2^{n + 2}\times3^{n + 2}$。
此时原式可化为$25\times3^{2n + 1}\times2^{n}-3^{n}\times2^{n + 2}\times3^{n + 2}$。
根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，进一步化简$3^{n}\times3^{n + 2}=3^{n + n + 2}=3^{2n + 2}$，则原式变为$25\times3^{2n + 1}\times2^{n}-3^{2n + 2}\times2^{n + 2}$。
提取公因式$3^{2n + 1}\times2^{n}$可得：
$25\times3^{2n + 1}\times2^{n}-3^{2n + 2}\times2^{n + 2}=3^{2n + 1}\times2^{n}\times(25 - 3\times2^{2})$。
计算括号内的值：$25 - 3\times2^{2}=25 - 3\times4=25 - 12 = 13$。
所以原式化简为$13\times3^{2n + 1}\times2^{n}$。
- **步骤二：判断化简后的式子是否能被$13$整除**
因为$n$为整数，所以$3^{2n + 1}\times2^{n}$是整数，那么$13\times3^{2n + 1}\times2^{n}$能被$13$整除，即$5^{2}\times3^{2n + 1}\times2^{n}-3^{n}\times6^{n + 2}$能被$13$整除。
【答案】：因为$5^{2}\times3^{2n + 1}\times2^{n}-3^{n}\times6^{n + 2}=13\times3^{2n + 1}\times2^{n}$，$n$为整数时$3^{2n + 1}\times2^{n}$是整数，所以$5^{2}\times3^{2n + 1}\times2^{n}-3^{n}\times6^{n + 2}$能被$13$整除。