《2025年启航新课堂八年级数学上册人教版》

1. 如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线.
(1) 求证：AB+AC＞2AD；证明略
(2) 若AB=6，AC=4，求AD的取值范围.1＜AD＜5

答案：
(1) 证明略.
(2) $ 1 ＜ AD ＜ 5 $.

2. 如图，在△ABC和△ADE中，AB=AD，AC=AE，∠BAC+∠DAE=180°. 若∠BAC≠90°，连接BE，CD，F为BE的中点，连接AF，求证：AF=$\frac{1}{2}$CD.

答案： 【解析】：
延长$EA$交$BC$于点$G$，因为$\angle BAC+\angle DAE = 180^{\circ}$，$\angle BAC+\angle BAG=180^{\circ}$，所以$\angle BAG=\angle DAE$。
在$\triangle ABG$和$\triangle ADE$中，$AB = AD$，$\angle BAG=\angle DAE$，$AG = AE$（已知$AC = AE$，这里构造$AG = AE$），所以$\triangle ABG\cong\triangle ADE(SAS)$，则$BG = DE$。
又因为$F$为$BE$的中点，在$\triangle BEG$中，根据中位线定理（三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半），$AF=\frac{1}{2}BG$。
因为$\triangle ABG\cong\triangle ADE$，所以$\angle ABG=\angle ADE$，又$AB = AD$，$AC = AE$，$\angle BAC+\angle DAE = 180^{\circ}$，$\angle BAC+\angle CAD+\angle DAE-\angle CAD=180^{\circ}-\angle CAD$，即$\angle BAE+\angle CAD = 180^{\circ}-\angle CAD$，$\angle BAE=\angle CAD$，所以$\triangle ABE\cong\triangle ADC(SAS)$，则$BE = CD$，$BG = DE$，$AF=\frac{1}{2}BG$，$BG = CD$（通过全等转换），所以$AF=\frac{1}{2}CD$。
【答案】：$AF=\frac{1}{2}CD$得证。