《2025年启航新课堂八年级数学上册人教版》

5. (1)代数式$x^{2} + 4y^{2} - 2x + 4y + 2025$的最小值是2023；
(2)当$m=$-3，$n=$-1时，多项式$3 - m^{2} + 6mn - 10n^{2} - 2n$有最大值为4。

答案：
(1)2023；
(2)-3；-1；4

6. 已知$a^{2} + b^{2} + c^{2} - ab - 3b - 2c + 4 = 0$，求$a + b + c$的值。

答案： $a+b+c=4$.

7. 如图，两个正方形的边长分别为$a$，$b$。若$a + b = 8$，$ab = 12$，则图中阴影部分的面积为 (A)

A. 14
B. 15
C. 16
D. 17

答案： A

8. (2025达州期末)如图，正方形$ABCD$和长方形$DEFG$的面积相等，且四边形$AEFH$也为正方形。欧几里得在《几何原本》中利用该图得到了$AH^{2} = AB·BH$。设$AB = a$，$BH = b$。若$ab = 45$，则图中阴影部分的周长为____30。

答案： 30

9. 通常用两种不同的方法计算同一个图形的面积可以得到一个恒等式。如图，将一个边长为$(a + b)$的正方形分割成四部分(两个正方形和两个长方形)。请观察图形，解答下列问题：
(1)根据图中条件，用两种方法表示该图形的总面积，可以得到的恒等式是____$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$；
(2)如果图中的$a$，$b(a ＞ b ＞ 0)$满足$a^{2} + b^{2} = 70$，$ab = 15$，求$a + b$的值；
$a+b=10$
(3)已知$(x + 9)^{2} + (x - 1)^{2} = 124$，求$(x + 9)·(x - 1)$的值。
$(x+9)(x-1)=12$

答案：
(1)$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$；
(2)$a+b=10$.
(3)$(x+9)(x-1)=12$.