《2025年启航新课堂八年级数学上册人教版》

2. 如图，已知$∠AOB$，$P$是$OA$边上的一点。以$PA$为一边，在$OA$的右侧作$∠APC = ∠AOB$。(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)

作出符合要求的∠APC（保留作图痕迹）

答案： 【解析】：根据尺规作图中作一个角等于已知角的方法，以$P$为顶点，$PA$为一边，在$OA$右侧作$\angle APC=\angle AOB$。先以$O$为圆心，任意长为半径画弧，交$OA$、$OB$于两点；再以$P$为圆心，同样长为半径画弧，交$PA$于一点；然后以交$PA$的点为圆心，以$O$中两交点间的距离为半径画弧，与之前所画弧相交，连接$P$与交点并延长，得到$PC$，使得$\angle APC = \angle AOB$。
【答案】：作出符合要求的$\angle APC$（保留作图痕迹）。

例2 如图，已知直线$l$及$l$外一点$A$，请用圆规和直尺在直线$l$外画出一点$P$，使得点$A$，$P$所在直线与直线$l$平行。(不写作法，保留作图痕迹)

答案： 【解析】：本题可利用同位角相等两直线平行的原理来作图。先在直线$l$上任取一点$B$，连接$AB$，以点$B$为顶点，$BA$为一边作一个角等于$\angle ABl$，在所作角的另一边取一点$P$，则$AP$与直线$l$平行。
【答案】：按上述原理作出符合要求的点$P$，并保留作图痕迹。

3. 如图，要在一块不规则的四边形纸板$ABCD$上，过点$D$作一条线段$DE$，使得$DE // AB$，交$BC$于点$E$。请用尺规完成作图。

1. 以点$A$为圆心，任意长为半径画弧，分别交$AB$、$AD$于点$M$、$N$；2. 以点$D$为圆心，$AM$长为半径画弧，交$AD$于点$P$；3. 以点$P$为圆心，$MN$长为半径画弧，与前面所画弧交于点$Q$；4. 过点$D$、$Q$作射线$DE$，交$BC$于点$E$。

答案： 【解析】：
1. 以点$A$为圆心，任意长为半径画弧，分别交$AB$、$AD$于点$M$、$N$。
这一步的目的是构造一个角的两边，以便后续作等角。
2. 以点$D$为圆心，$AM$长为半径画弧，交$AD$于点$P$。
保证后续作弧的半径与前面的一致。
3. 以点$P$为圆心，$MN$长为半径画弧，与前面所画弧交于点$Q$。
这样做是为了通过弧长相等得到相等的角。
4. 过点$D$、$Q$作射线$DE$，交$BC$于点$E$。
根据“同位角相等，两直线平行”（$\angle EDQ=\angle BAD$，同位角相等），则$DE// AB$。
【答案】：按照上述尺规作图步骤作出$DE$，使得$DE// AB$交$BC$于点$E$。

例3 如图，已知$∠α$，线段$b$，$c$，求作：$△ABC$，使$∠A = ∠α$，$AC = b$，$AB = c$。(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)

作出的$\triangle ABC$，其中$\angle A=\angle\alpha$，$AC = b$，$AB = c$，且保留了尺规作图的痕迹。

答案： 【解析】：本题可根据已知条件，先作一个角等于已知角$\angle\alpha$，然后在角的两条边上分别截取线段$AB = c$，$AC = b$，最后连接$BC$，即可得到满足条件的$\triangle ABC$。
【答案】：作出的$\triangle ABC$，其中$\angle A=\angle\alpha$，$AC = b$，$AB = c$，且保留了尺规作图的痕迹。

4. 如图，已知锐角$∠α$，钝角$∠β$，线段$c$，求作：$△ABC$，使$∠A = ∠α$，$∠B = 180^{\circ} - ∠β$，$AB = c$。



作法：

（1）作线段$AB = c$；

（2）以点$A$为顶点，$AB$为一边作$∠DAB = ∠α$；

（3）以点$B$为顶点，$BA$为一边在$AB$的同侧作$∠ABE = 180^{\circ}-∠β$；

（4）$AD$与$BE$相交于点$C$，则$△ABC$就是所求作的三角形。

答案： 【解析】：
1. 作线段$AB = c$：
用直尺画出线段$AB$，使其长度等于已知线段$c$。
2. 作$\angle A=\angle\alpha$：
以$A$为顶点，利用量角器或作角的方法，作出$\angle A$，使$\angle A=\angle\alpha$。
3. 作$\angle B = 180^{\circ}-\angle\beta$：
以$B$为顶点，作出$\angle B$，使$\angle B = 180^{\circ}-\angle\beta$。
4. 确定点$C$：
设$\angle A$与$\angle B$的另一边相交于点$C$，则$\triangle ABC$就是所求作的三角形。
【答案】：按照上述步骤作出的$\triangle ABC$即为所求。

1. 利用基本作图，不能作出唯一三角形的是（D）
A. 已知三边
B. 已知两边及其夹角
C. 已知两角及其夹边
D. 已知两边及其中一边的对角

答案： D

2. (2025雅安期末)如图，过点$P$画直线$a$的平行线$b$的作法的依据是（D）

A. 两直线平行，同位角相等
B. 同位角相等，两直线平行
C. 两直线平行，内错角相等
D. 内错角相等，两直线平行

答案： D