《2025年启航新课堂八年级数学上册人教版》

3. 若$x(x+a)+3(x-b)=x^{2}+7x-6$，则$a=$4，$b=$2.

答案： 4；2

4. 试说明：$2x(6x+11)+6-6x(2x+13)+8(7x+2)$的值与x的取值无关.

答案： 【解析】：本题可先根据单项式乘多项式的运算法则将原式展开，再通过合并同类项化简式子，最后判断化简后的式子是否含有$x$，若不含有$x$，则说明该式的值与$x$的取值无关。
**步骤一：利用单项式乘多项式的运算法则展开式子**
根据单项式乘多项式的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
$2x(6x + 11)=2x\times6x + 2x\times11 = 12x^2 + 22x$；
$-6x(2x + 13)=-6x\times2x - 6x\times13 = -12x^2 - 78x$；
$8(7x + 2)=8\times7x + 8\times2 = 56x + 16$。
此时原式变为$12x^2 + 22x + 6 - 12x^2 - 78x + 56x + 16$。
**步骤二：合并同类项化简式子**
同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和指数不变。
合并含$x^2$的项：$12x^2 - 12x^2 = 0$；
合并含$x$的项：$22x - 78x + 56x = (22 - 78 + 56)x = 0$；
合并常数项：$6 + 16 = 22$。
所以，化简后的结果为$22$。
**步骤三：判断式子的值与$x$的取值是否有关**
由于化简后的式子$22$中不含有$x$，这意味着无论$x$取何值，式子的值始终为$22$，即该式的值与$x$的取值无关。
【答案】：化简原式$2x(6x + 11)+6 - 6x(2x + 13)+8(7x + 2)$，先展开式子得$12x^2 + 22x + 6 - 12x^2 - 78x + 56x + 16$，再合并同类项得$22$，结果不含$x$，所以该式的值与$x$的取值无关。

5. 试说明：对于任意自然数n，代数式$n(n+7)-[n(n-5)+6]$的值都能被6整除.

答案： 【解析】：首先对代数式$n(n + 7)-[n(n - 5)+6]$进行化简。
根据单项式乘多项式法则：$a(b + c)=ab+ac$，可得$n(n + 7)=n^{2}+7n$，$n(n - 5)=n^{2}-5n$。
则原式$n(n + 7)-[n(n - 5)+6]=n^{2}+7n-(n^{2}-5n + 6)$。
去括号得：$n^{2}+7n - n^{2}+5n-6$。
合并同类项：$(n^{2}-n^{2})+(7n + 5n)-6=12n-6$。
提取公因式$6$可得：$6(2n - 1)$。
因为$n$是自然数，所以$2n-1$是整数，那么$6(2n - 1)$能被$6$整除，即对于任意自然数$n$，代数式$n(n + 7)-[n(n - 5)+6]$的值都能被$6$整除。
【答案】：对于任意自然数$n$，代数式$n(n + 7)-[n(n - 5)+6]$化简后为$6(2n - 1)$，因为$n$是自然数，$2n - 1$是整数，所以该代数式的值能被$6$整除。

1. 计算$3a(5a-2b)$的结果是 (D)
A. $15a-6ab$
B. $8a^{2}-6ab$
C. $15a^{2}-5ab$
D. $15a^{2}-6ab$

答案： D

2. 若$2x(x-2)=ax^{2}+bx$，则a，b的值为 (D)
A. $a=1$，$b=2$
B. $a=2$，$b=-2$
C. $a=2$，$b=4$
D. $a=2$，$b=-4$

答案： D

3. 若$□\cdot xy=3x^{2}y+2xy$，则□内应填的式子是 (A)
A. $3x+2$
B. $x+2$
C. $3xy+2$
D. $xy+2$

答案： A

4. 如图，根据计算长方形ABCD的面积，可以验证的等式是 (B)

A. $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$
B. $a(a+b)=a^{2}+ab$
C. $b(a+b)=ab+b^{2}$
D. $(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$

答案： B

5. 计算：
(1)$2m(mn^{2}-3m^{2})=$$2m^{2}n^{2}-6m^{3}$；
(2)$(-2ab^{2})(2a-b)=$$-4a^{2}b^{2}+2ab^{3}$；
(3)$(\frac {2}{3}ab^{2}-2ab)\cdot \frac {1}{2}ab=$$\frac {1}{3}a^{2}b^{3}-a^{2}b^{2}$；
(4)$(-xy^{2})\cdot (2x^{2}-3xy+4)=$$-2x^{3}y^{2}+3x^{2}y^{3}-4xy^{2}$.

答案：
(1)$2m^{2}n^{2}-6m^{3}$；
(2)$-4a^{2}b^{2}+2ab^{3}$；
(3)$\frac {1}{3}a^{2}b^{3}-a^{2}b^{2}$；
(4)$-2x^{3}y^{2}+3x^{2}y^{3}-4xy^{2}$

6. 若多项式$ax(x+2)-x^{2}\cdot (3x+2)$中不含$x^{2}$项，则a的值为2.

答案： 2

7. 计算下列各题：
(1)$x^{2}(x-1)+2x(x^{2}-2x+3)$；
(2)$6a^{2}(\frac {1}{3}ab-b^{2})-2a^{2}b(a-b)$；
(3)$3a^{n+1}\cdot (a^{n-1}-2a^{n}+3a^{n+1})$；
(4)$-3xy\cdot (\frac {1}{4}x-\frac {1}{5}y)\cdot (-\frac {2}{3}xy)^{2}$.

答案：
(1)$3x^{3}-5x^{2}+6x$；
(2)$-4a^{2}b^{2}$；
(3)$3a^{2n}-6a^{2n+1}+9a^{2n+2}$；
(4)$-\frac {1}{3}x^{4}y^{3}+\frac {4}{15}x^{3}y^{4}$。