《2025年启航新课堂八年级数学上册人教版》

7. 如图，P为定角∠AOB平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补. 若∠MPN在绕点P转动的过程中，其两边分别与OA，OB相交于M，N两点，求证：PM=PN.

【拓展1】OM+ON的值是否为定值？请说明理由.
【拓展2】四边形PMON的面积是否为定值？请说明理由.
【解析】：
过点$P$作$PE\perp OA$于点$E$，$PF\perp OB$于点$F$。
因为$OP$平分$\angle AOB$，$PE\perp OA$，$PF\perp OB$，根据角平分线的性质可知$PE = PF$，$\angle PEO=\angle PFO = 90^{\circ}$，所以$\angle EPF+\angle AOB = 180^{\circ}$。
又因为$\angle MPN+\angle AOB = 180^{\circ}$，所以$\angle EPF=\angle MPN$，即$\angle EPM+\angle MPE=\angle FPN+\angle MPE$，所以$\angle EPM=\angle FPN$。
在$\triangle PEM$和$\triangle PFN$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle PEM=\angle PFN\\PE = PF\\\angle EPM=\angle FPN\end{array}\right.$，根据$ASA$（角边角）定理可得$\triangle PEM\cong\triangle PFN$，所以$PM = PN$。
【拓展1】
因为$\triangle PEM\cong\triangle PFN$，所以$EM = FN$。
$OM + ON=(OE - EM)+(OF + FN)$，因为$OE = OF$（角平分线性质，$OP$为角平分线，$PE\perp OA$，$PF\perp OB$），$EM = FN$，所以$OM + ON=OE - EM+OF + FN=2OE$（$OE$为定值，因为$P$为定点，$OP$为定角$\angle AOB$平分线，$PE\perp OA$），所以$OM + ON$的值是定值。
【拓展2】
${S}_{四边形PMON}={S}_{\triangle PMO}+{S}_{\triangle PNO}$
${S}_{\triangle PMO}=\frac{1}{2}OM\cdot PE$，${S}_{\triangle PNO}=\frac{1}{2}ON\cdot PF$，因为$PE = PF$，$OM + ON$为定值（已证）
${S}_{四边形PMON}=\frac{1}{2}(OM + ON)\cdot PE$，因为$OM + ON$为定值，$PE$为定值（$P$为定点，$OP$为角平分线，$PE\perp OA$），所以四边形$PMON$的面积是定值。
【答案】：
$PM = PN$得证；【拓展1】$OM + ON$的值是定值；【拓展2】四边形$PMON$的面积是定值。

答案： 【解析】：
过点$P$作$PE\perp OA$于点$E$，$PF\perp OB$于点$F$。
因为$OP$平分$\angle AOB$，$PE\perp OA$，$PF\perp OB$，根据角平分线的性质可知$PE = PF$，$\angle PEO=\angle PFO = 90^{\circ}$，所以$\angle EPF+\angle AOB = 180^{\circ}$。
又因为$\angle MPN+\angle AOB = 180^{\circ}$，所以$\angle EPF=\angle MPN$，即$\angle EPM+\angle MPE=\angle FPN+\angle MPE$，所以$\angle EPM=\angle FPN$。
在$\triangle PEM$和$\triangle PFN$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle PEM=\angle PFN\\PE = PF\\\angle EPM=\angle FPN\end{array}\right.$，根据$ASA$（角边角）定理可得$\triangle PEM\cong\triangle PFN$，所以$PM = PN$。
【拓展1】
因为$\triangle PEM\cong\triangle PFN$，所以$EM = FN$。
$OM + ON=(OE - EM)+(OF + FN)$，因为$OE = OF$（角平分线性质，$OP$为角平分线，$PE\perp OA$，$PF\perp OB$），$EM = FN$，所以$OM + ON=OE - EM+OF + FN=2OE$（$OE$为定值，因为$P$为定点，$OP$为定角$\angle AOB$平分线，$PE\perp OA$），所以$OM + ON$的值是定值。
【拓展2】
${S}_{四边形PMON}={S}_{\triangle PMO}+{S}_{\triangle PNO}$
${S}_{\triangle PMO}=\frac{1}{2}OM\cdot PE$，${S}_{\triangle PNO}=\frac{1}{2}ON\cdot PF$，因为$PE = PF$，$OM + ON$为定值（已证）
${S}_{四边形PMON}=\frac{1}{2}(OM + ON)\cdot PE$，因为$OM + ON$为定值，$PE$为定值（$P$为定点，$OP$为角平分线，$PE\perp OA$），所以四边形$PMON$的面积是定值。
【答案】：
$PM = PN$得证；【拓展1】$OM + ON$的值是定值；【拓展2】四边形$PMON$的面积是定值。

8. 如图，OC平分∠AOB，P为OC上的一点，∠MPN的两边分别与OA，OB相交于点M，N.
(1) 如图①，若∠AOB=90°，∠MPN=90°，过点P作PE⊥OA于点E，作PF⊥OB于点F. 试判断PM与PN的数量关系，并说明理由；
(2) 如图②，若∠AOB=120°，∠MPN=60°，求证：OP=OM+ON.
(1) PM = PN. 理由略. (2) 证明略.

答案：
(1) $ PM = PN $. 理由略.
(2) 证明略.