《2025年启航新课堂八年级数学上册人教版》

例1 某供电部门准备在输电主干线 $ l $ 上连接一个分支线路，分支点为 $ M $，同时向新落成的 $ A $，$ B $ 两个居民小区送电。
(1) 如图，如果居民小区 $ A $，$ B $ 在主干线 $ l $ 的两旁，那么分支点 $ M $ 在什么地方时总线路最短？连接$AB$，$AB$与主干线$l$的交点$M$即为所求
(2) 如图，如果居民小区 $ A $，$ B $ 在主干线 $ l $ 的同旁，那么分支点 $ M $ 在什么地方时总线路最短？作点$A$关于主干线$l$的对称点$A'$，连接$A'B$，$A'B$与主干线$l$的交点$M$即为所求

最短路径问题

答案： 【解析】：
(1) 根据“两点之间，线段最短”，连接$A$、$B$两点，与主干线$l$的交点$M$即为所求。此时$MA + MB$为$A$、$B$两点间线段长度，是总线路最短的情况。
(2) 作点$A$关于主干线$l$的对称点$A'$，连接$A'B$，与主干线$l$的交点$M$即为所求。
理由：因为$A$和$A'$关于$l$对称，所以$MA = MA'$，那么总线路$MA + MB = MA' + MB$。根据“两点之间，线段最短”，$A'B$是$A'$与$B$两点间的线段，所以此时总线路最短。
【答案】：
(1) 连接$AB$，$AB$与主干线$l$的交点$M$即为所求。
(2) 作点$A$关于主干线$l$的对称点$A'$，连接$A'B$，$A'B$与主干线$l$的交点$M$即为所求。

1. “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。由此引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。如图，将军在图中点 $ A $ 处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营 $ B $ 处，问：将军怎么走能使得路程最短？将实际问题转化成数学问题，即：在直线 $ l $ 上找一点 $ P $ 使得 $ PA + PB $ 最小。解决方法：作点 $ A $ 关于直线 $ l $ 的对称点 $ A' $，连接 $ PA' $，则 $ PA' = PA $，所以 $ PA + PB = PA' + PB $，连接 $ A'B $，则线段 $ A'B $ 的长度即为 $ PA + PB $ 的最小值，这样做依据的基本事实是两点之间，线段最短。

答案： 两点之间，线段最短

2. 如图，牧马人从 $ A $ 地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到 $ B $ 地。请画出最短路径。

作$A$关于草地边的对称点$A_1$，作$B$关于河边的对称点$B_1$，连接$A_1B_1$，分别与草地边、河边交于$C$、$D$，则$A→C→D→B$为最短路径。

答案： 【解析】：
根据轴对称的性质，作$A$关于草地边的对称点$A_1$，作$B$关于河边的对称点$B_1$，连接$A_1B_1$，分别与草地边、河边交于$C$、$D$两点。
因为$A$与$A_1$关于草地边对称，所以$AC = A_1C$；$B$与$B_1$关于河边对称，所以$BD = B_1D$。
此时路径$A→C→D→B$的长度就等于$A_1C + CD + B_1D = A_1B_1$。
根据两点之间线段最短，所以$A_1B_1$是最短距离，即$A→C→D→B$为最短路径。
【答案】：作$A$关于草地边的对称点$A_1$，作$B$关于河边的对称点$B_1$，连接$A_1B_1$，分别与草地边、河边交于$C$、$D$，则$A→C→D→B$为最短路径。