《2025年创新设计高考总复习物理人教版》

3. 经典的“黑洞”理论认为，当恒星收缩到一定程度时，会变成密度非常大的天体，这种天体的逃逸速度非常大，大到光从旁边经过时都不能逃逸，也就是其第二宇宙速度大于等于光速，此时该天体就变成了一个黑洞。若太阳演变成一个黑洞后的密度为ρ、半径为R，设光速为c，第二宇宙速度是第一宇宙速度的$\sqrt{2}$倍，引力常量为G，则ρR²的最小值是（ ）
$A.\frac{3c²}{4πG}$
$B.\frac{3c²}{8πG}$
$C.\frac{4πG}{3c²}$
$D.\frac{8πG}{3c²}$

答案： 3.B [设太阳演变成一个黑洞后的质量为M，对于太阳表面一个质量为m的物体，根据万有引力提供向心力，有$G\frac{Mm}{R^{2}} = m\frac{v^{2}}{R}$，可得太阳的第一宇宙速度为$v = \sqrt{\frac{GM}{R}}$，第二宇宙速度大于等于光速，又第二宇宙速度是第一宇宙速度的$\sqrt{2}$倍，则$c\leqslant\sqrt{2}v$，又根据太阳演变成一个黑洞后的质量$M=\rho\cdot\frac{4}{3}\pi R^{3}$，联立解得$\rho R^{2}\geqslant\frac{3c^{2}}{8\pi G}$，故B正确。]

4. 地球的近地卫星线速度大小约为8 km/s，已知月球质量约为地球质量的1/81，地球半径约为月球半径的4倍，下列说法正确的是（ ）
A.在月球上发射卫星的最小速度约为8 km/s
B.月球卫星的环绕速度可能达到4 km/s
C.月球的第一宇宙速度约为1.8 km/s
D.“近月卫星”的线速度比“近地卫星”的线速度大

答案： 4.C [根据第一宇宙速度$v = \sqrt{\frac{GM}{R}}$，可得月球与地球的第一宇宙速度之比为$\frac{v_{月}}{v_{地}}=\sqrt{\frac{M_{月}R_{地}}{M_{地}R_{月}}}=\sqrt{\frac{4}{81}}=\frac{2}{9}$，月球的第一宇宙速度约为$v_{月}=\frac{2}{9}v_{地}=\frac{2}{9}\times8\text{ km/s}\approx1.8\text{ km/s}$，在月球上发射卫星的最小速度约为1.8 km/s，月球卫星的环绕速度小于或等于1.8 km/s，“近月卫星”的线速度为1.8 km/s，小于“近地卫星”的线速度，故C正确。]

例1 (2024·河南周口高三联考)2023年5月10日21时22分，天舟六号货运飞船发射成功，并于次日5时16分成功与中国天宫空间站对接，为航天员送去所需的服装、食物、水、实验设备等物资。现将其发射对接过程简化如图2所示，圆轨道1为中国天宫空间站的运行轨道，天舟六号在运载火箭的托举下沿轨道PA运动至A点“船箭分离”，飞船进入与圆轨道1相切于B点的椭圆轨道2运行，最后择机与空间站对接。下列相关说法中正确的是 （ ）

A.天舟六号飞船由P点运动至B点的过程中机械能持续增大
B.天舟六号飞船沿椭圆轨道2的运行周期要小于空间站的运行周期
C.天舟六号飞船由P点运动至B点的过程中，飞船内的物资始终处于超重状态
D.天舟六号飞船沿椭圆轨道2的运行速度始终小于与空间站对接后在轨道1上的运行速度

答案： 例1 B [飞船由P点到B点过程中的AB段，飞船只受万有引力，只有引力做功，机械能守恒，故A错误；由开普勒第三定律$\frac{a^{3}}{T^{2}} = k$，可知轨道半长轴越小，周期越小，飞船在轨道2的半长轴比轨道1的小，所以飞船在轨道2运动的周期比空间站的运动周期小，故B正确；飞船由P点到A点，飞船获得外界提供的动力，加速上升，处于超重状态，飞船从A点到B点，只受地球对其的万有引力，处于完全失重状态，故C错误；飞船在轨道2运动到B点要经历点火加速才能进入轨道1运动，所以飞船在轨道2的B点运动速度比与空间站对接后在轨道1上的运行速度要大，故D错误。]