《2025年创新设计高考总复习物理人教版》

模型三 多运动组合模型
例5 如图7是由弧形轨道、圆轨道、水平直轨道平滑连接而成的力学探究装置。水平轨道$AC$末端装有一体积不计的理想弹射器，圆轨道与水平直轨道相交于$B$点，且$B$点位置可改变。现将质量$m = 2\ kg$的滑块（可视为质点）从弧形轨道高$H = 0.6\ m$处静止释放，且将$B$点置于$AC$中点处。已知圆轨道半径$R = 0.1\ m$，水平轨道长$L_{AC}= 1.0\ m$，滑块与$AC$间动摩擦因数$\mu = 0.2$，弧形轨道和圆轨道均视为光滑，不计其他阻力与能量损耗，求：
(1)滑块第一次滑至圆轨道最高点时对轨道的压力大小；
(2)弹射器获得的最大弹性势能；
(3)若$H = 6\ m$，改变$B$点位置，使滑块在整个滑动过程中不脱离轨道，则$BC$间距离$L_{BC}$应满足的条件。

答案：
(1)$100\ N$
(2)$8\ J$
(3)$0.5\ m\leq L_{BC}\leq1\ m$
解析
(1)从出发到第一次滑至圆轨道最高点过程，由动能定理可得$mgH-\mu mgL_{AB}-mg\cdot2R=\frac{1}{2}mv^{2}$
在圆轨道最高点，由牛顿第二定律可得$mg + F = m\frac{v^{2}}{R}$
联立解得$F = 100\ N$
由牛顿第三定律知，滑块对轨道的压力大小为$100\ N$。
(2)弹射器第一次压缩时弹性势能有最大值，由能量守恒定律可知$mgH-\mu mgL_{AC}=E_{p}$
解得$E_{p}=8\ J$。
(3)若滑块恰好到达圆轨道的最高点，有$mg = m\frac{v_{0}^{2}}{R}$
从开始到圆轨道最高点，由动能定理可知
$mg(H - 2R)-\mu mgs_{1}=\frac{1}{2}mv_{0}^{2}$
解得$s_{1}=28.75\ m$
$L_{BC}=29L_{AC}-s_{1}=0.25\ m$
要使滑块不脱离轨道，$B$、$C$之间的距离应该满足$L_{BC}\geq0.25\ m$。
若滑块刚好达到圆轨道的圆心等高处，此时的速度为零，由动能定理可知$mg(H - R)-\mu mgs_{2}=0$
解得$s_{2}=29.5\ m$
$L_{AB}=s_{2}-29L_{AC}=0.5\ m$
根据滑块运动的周期性可知，应使$L_{BC}\geq0.5\ m$，滑块不脱离轨道
综上所述，符合条件的$BC$长度为$0.5\ m\leq L_{BC}\leq1\ m$。

3. (2024·安徽六安高三检测)如图8所示，水平轨道$AB$长为$2R$，其$A$端有一被锁定的轻质弹簧，弹簧左端连接在固定的挡板上。圆心在$O_{1}$、半径为$R$的光滑圆弧轨道$BC$与$AB$相切于$B$点，并且和圆心在$O_{2}$、半径为$2R$的光滑细圆管轨道$CD$平滑对接，$O_{1}$、$C$、$O_{2}$三点在同一条直线上。光滑细圆管轨道$CD$右侧有一半径为$2R$，圆心在$D$点的$\frac{1}{4}$圆弧挡板$MO_{2}$竖直放置，并且与地面相切于$O_{2}$点。质量为$m$的小滑块（可视为质点）从轨道上的$C$点由静止滑下，刚好能运动到$A$点，触发弹簧，弹簧立即解除锁定，小滑块被弹回，小滑块在到达$B$点之前已经脱离弹簧，并恰好无挤压通过细圆管轨道最高点$D$（计算时圆管直径不计，重力加速度为$g$）。求：
(1)小滑块与水平轨道$AB$间的动摩擦因数$\mu$；
(2)弹簧锁定时具有的弹性势能$E_{p}$；
(3)小滑块通过最高点$D$后落到挡板上时具有的动能$E_{k}$。

答案：
(1)$\frac{1}{3}$
(2)$\frac{11}{3}mgR$
(3)$(2\sqrt{2}-1)mgR$
解析
(1)由几何关系得$B$、$C$间的高度差$h=\frac{2}{3}R$
小滑块从$C$点运动到$A$点的过程中，由动能定理得
$mgh-\mu mg\cdot2R = 0$，解得$\mu=\frac{1}{3}$。
(2)弹簧对滑块做功过程由功能关系有$W_{弹}=E_{p}$
滑块从$A$到$D$过程由动能定理得
$E_{p}-mg\cdot2R-\mu mg\cdot2R=\frac{1}{2}mv^{2}-0$
滑块在$D$点，由重力提供向心力，有$mg = m\frac{v^{2}}{2R}$
联立解得$E_{p}=\frac{11}{3}mgR$。
(3)滑块通过$D$点后做平抛运动，根据平抛运动的规律可知，水平方向有$x = vt$
竖直方向有$y=\frac{1}{2}gt^{2}$
由几何关系可知$x^{2}+y^{2}=4R^{2}$
可得滑块落到挡板上时的动能为$E_{k}=\frac{1}{2}m[v^{2}+(gt)^{2}]$
联立解得$E_{k}=(2\sqrt{2}-1)mgR$。