《2025年创新设计高考总复习物理人教版》

例1 如图1所示，在$xOy$平面的Ⅰ、Ⅳ象限内有一圆心为$O$、半径为$R$的半圆形匀强磁场，线状粒子源从$y$轴左侧平行于$x$轴正方向不断射出质量为$m$、电荷量为$q$、速度大小为$v_{0}$的带正电粒子。磁场的磁感应强度大小为$\frac{mv_{0}}{2qR}$、方向垂直平面$xOy$向里。不考虑粒子间的相互作用，不计粒子受到的重力。所有从不同位置进入磁场的粒子中，在磁场中运动的时间最长为（ ）

A.$\frac{\pi R}{6v_{0}}$
B.$\frac{\pi R}{4v_{0}}$
C.$\frac{\pi R}{3v_{0}}$
D.$\frac{\pi R}{2v_{0}}$

答案：
例1C　[粒子在磁场中做匀速圆周运动，有$qv_{0}B = m\frac{v_{0}^{2}}{r}$，解得$r = 2R$，如图所示，当粒子在磁场中的运动轨迹对应的圆心角最大时，粒子在磁场中运动的时间最长，由于$\sin\alpha=\frac{FE}{r}$，要使圆心角$\alpha$最大，$FE$最长，经分析可知，当粒子从$y$轴上的$D'$点射入、从$x$轴上的$E'$点射出磁场时，粒子在磁场中运动的时间最长，有$\sin\alpha_{m}=\frac{OE'}{r}$，解得$\alpha_{m}=\frac{\pi}{6}$，从$D'$点射入磁场的粒子在磁场中运动的时间最长，且$t_{m}=\frac{\frac{\pi}{6}}{2\pi}\cdot\frac{2\pi r}{v_{0}}$，解得$t_{m}=\frac{\pi R}{3v_{0}}$，故C正确。]

例2（多选）如图2所示，在直角坐标系$xOy$第一象限内$x$轴上方存在磁感应强度大小为$B$、方向垂直纸面向里的匀强磁场，在$y$轴上$S$处有一粒子源，它可向右侧纸面内各个方向射出速率相等的质量大小均为$m$、电荷量大小均为$q$的同种带电粒子，所有粒子射出磁场时离$S$最远的位置是$x$轴上的$P$点。已知粒子带负电，$OP = \sqrt{3}OS = \sqrt{3}d$，粒子重力及粒子间的相互作用均不计，则（ ）

A. 粒子的速度大小为$\frac{qBd}{m}$
B. 从$O$点射出的粒子在磁场中的运动时间为$\frac{3\pi m}{qB}$
C. 从$x$轴上射出磁场的粒子在磁场中运动的最长时间与最短时间之比为$9:2$
D. 沿平行$x$轴正方向射入的粒子离开磁场时的位置到$O$点的距离为$\frac{d}{2}$

答案：
例2AC[粒子射出磁场时离$S$最远的位置是$x$轴上的$P$点，可以画出其轨迹1，可知$SP$为直径，由几何关系得$(2R)^{2}=d^{2}+(\sqrt{3}d)^{2}$，得到$R = d$，由洛伦兹力提供向心力得$qvB = m\frac{v^{2}}{R}$则$v=\frac{qBd}{m}$，故A正确；运动周期$T=\frac{2\pi m}{qB}$，由几何知识可得，从$O$点射出的粒子的运动轨迹如轨迹3，轨迹所对的圆心角为$60^{\circ}$，在磁场中的运动时间$t=\frac{1}{6}T=\frac{\pi m}{3qB}$，故B错误；从$x$轴上射出磁场的粒子运动时间最长时运动轨迹与$x$轴相切的粒子(轨迹2)，对应的圆心角为$270^{\circ}$，得$t_{1}=\frac{3}{4}T$，运动时间最短的粒子为从原点飞出的粒子(轨迹3)，运动时间为$t_{2}=\frac{1}{6}T$，所以$\frac{t_{1}}{t_{2}}=\frac{9}{2}$，故C正确；沿平行$x$轴正方向射入的粒子，圆心在原点处，运动轨迹为四分之一圆，离开磁场时的位置到$O$点的距离为$d$，故D错误。]