《2025年创新设计高考总复习物理人教版》

1.（2024·北京清华附中质检）空间同时存在匀强电场和匀强磁场。匀强电场的方向沿$y$轴正方向，电场强度大小为$E$；磁场方向垂直纸面向外。质量为$m$、电荷量为$+q$的粒子（重力不计）从坐标原点$O$由静止释放，释放后，粒子恰能沿图2中的曲线运动。已知该曲线的最高点$P$的纵坐标为$h$，曲线在$P$点附近的一小部分，可以看作是半径为$2h$的圆周上的一小段圆弧，则（ ）

A.粒子在$y$轴方向做匀加速运动
B.粒子在最高点$P$的速度大小为$\sqrt{\frac{qEh}{2m}}$
C.磁场的磁感应强度大小为$\sqrt{\frac{2mE}{qh}}$
D.磁场的磁感应强度大小为$\sqrt{\frac{mE}{qh}}$

答案： C [受力分析可知，粒子受到洛伦兹力沿y轴方向的分力是变化的，故粒子在y轴方向的合力是变化的，加速度也是变化的，A错误；从O到P，洛伦兹力不做功，由动能定理得$qEh=\frac{1}{2}mv_{P}^{2}$，解得$v_{P}=\sqrt{\frac{2qEh}{m}}$，B错误；粒子经过最高点时，洛伦兹力和静电力的合力提供向心力，即$qv_{P}B - qE = m\frac{v_{P}^{2}}{2h}$，联立解得$B=\sqrt{\frac{2mE}{qh}}$，C正确，D错误。]

例2（2024·湖北武汉高三联考）如图3(a)所示的$xOy$平面处于变化的匀强电场和匀强磁场中，电场强度$E$和磁感应强度$B$随时间做周期性变化的图像如图(b)所示，$y$轴正方向为$E$的正方向，垂直于纸面向里为$B$的正方向。$t = 0$时刻，带负电粒子$P$（重力不计）由原点$O$以速度$v_0$沿$y$轴正方向射出，它恰能沿一定轨道做周期性运动。$v_0$、$E_0$和$t_0$为已知量，图(b)中$\frac{E_0}{B_0}=\frac{8v_0}{\pi^2}$，在$0\sim t_0$时间内粒子$P$第一次离$x$轴最远时的坐标为$(\frac{2v_0t_0}{\pi},\frac{2v_0t_0}{\pi})$。求：
(1)粒子$P$的比荷；
(2)$t = 2t_0$时刻粒子$P$的位置；
(3)带电粒子在运动中距离原点$O$的最远距离$L$。

答案：

(1)$\frac{4v_{0}}{\pi E_{0}t_{0}}$
(2)$(\frac{2 + \pi}{\pi}v_{0}t_{0},0)$
(3)$\frac{4 + 2\pi}{\pi}v_{0}t_{0}$
解析
(1)0～$t_{0}$时间内粒子P在匀强磁场中做匀速圆周运动，当粒子所在位置的纵、横坐标相等时，粒子在磁场中恰好经过$\frac{1}{4}$圆周，所以粒子P第一次离x轴的最远距离等于轨道半径R，即$R=\frac{2v_{0}t_{0}}{\pi}$，又$qv_{0}B_{0}=m\frac{v_{0}^{2}}{R}$
代入$\frac{E_{0}}{B_{0}}=\frac{8v_{0}}{\pi^{2}}$，解得$\frac{q}{m}=\frac{4v_{0}}{\pi E_{0}t_{0}}$。
(2)设粒子P在磁场中运动的周期为T，则$T=\frac{2\pi R}{v_{0}}$
联立解得$T = 4t_{0}$
即粒子P做$\frac{1}{4}$圆周运动后磁场变为电场，粒子以速度$v_{0}$垂直电场方向进入电场后做类平抛运动，设$t_{0}$～$2t_{0}$时间内水平位移和竖直位移分别为$x_{1}$、$y_{1}$，则$x_{1}=v_{0}t_{0}=\frac{\pi R}{2}$，$y_{1}=\frac{1}{2}at_{0}^{2}$
其中加速度$a=\frac{qE_{0}}{m}$
解得$y_{1}=\frac{2v_{0}t_{0}}{\pi}=R$
因此$t = 2t_{0}$时刻粒子P的位置坐标为$(\frac{2 + \pi}{\pi}v_{0}t_{0},0)$，如图中的b点所示。
　　　　　　　　　　　　　　　
(3)分析知，粒子P在$2t_{0}$～$3t_{0}$时间内，静电力产生的加速度方向沿y轴正方向，由对称关系知，在$3t_{0}$时刻速度方向为x轴正方向，位移$x_{2}=v_{0}t_{0}$；在$3t_{0}$～$5t_{0}$时间内粒子P沿逆时针方向做匀速圆周运动，往复运动轨迹如
(2)中图所示，由图可知，带电粒子在运动中距原点O的最远距离，即O、d间的距离$L = 2R + 2x_{1}$
解得$L=\frac{4 + 2\pi}{\pi}v_{0}t_{0}$。