《2025年创新设计高考总复习物理人教版》

例4 (2024·河北任丘一中期中)如图5所示，将原长为R的轻质弹簧放置在倾角为37°的轨道AB上，一端固定在A点，另一端与滑块P(可视为质点，质量可调)接触但不连接。AB长为2R，B端与半径为R的光滑圆轨道BCD相切，D点在O点的正上方，C点与圆心O等高。滑块P与AB间的动摩擦因数μ = 0.5。用外力推动滑块P，每次都将弹簧压缩至原长的一半，然后放开，P开始沿轨道AB运动。当P的质量为m时刚好能到达圆轨道的最高点D。已知重力加速度大小为g，sin 37° = 0.6，cos 37° = 0.8。

(1)求弹簧压缩至原长的一半时，弹簧的弹性势能$E_{p}$；
(2)改变滑块P的质量为M，使之能滑上圆轨道，且仍能沿圆轨道滑下，求M的可能值。

答案：
(1)$3.8mgR$
(2)$\frac{38}{23}m\leqslant M\lt\frac{38}{15}m$
解析　
(1)若滑块$P$刚好能沿圆轨道运动到圆轨道的最高点，有$mg = m\frac{v_{D}^{2}}{R}$
滑块$P$由静止运动到圆轨道最高点过程，由能量守恒定律可得$E_{p}=\mu mg\cos37^{\circ}\cdot\frac{3}{2}R+mg(\frac{3}{2}R\sin37^{\circ}+R + R\cos37^{\circ})+\frac{1}{2}mv_{D}^{2}$
联立解得$E_{p}=3.8mgR$。
(2)设滑块$P$的质量为$M$，为使$P$能滑上圆轨道，则它到达$B$点时的速度应大于零，由能量守恒定律可得$E_{p}\gt\mu Mg\cos37^{\circ}\cdot\frac{3}{2}R+Mg\cdot\frac{3}{2}R\sin37^{\circ}$
解得$M\lt\frac{38}{15}m$
要使滑块$P$仍能沿圆轨道滑回，$P$在圆轨道上升的高度不能超过与圆心等高处，由能量守恒定律可得$E_{p}\leqslant\mu Mg\cos37^{\circ}\cdot\frac{3}{2}R+Mg(\frac{3}{2}R\sin37^{\circ}+R\cos37^{\circ})$
解得$M\geqslant\frac{38}{23}m$
综上所述可得$\frac{38}{23}m\leqslant M\lt\frac{38}{15}m$。

3.(多选)(2024·辽宁大连高三期中)如图6所示，倾角为θ = 53°的固定粗糙斜面上有一A点，长度为l = 0.5 m的木板质量分布均匀，其质量为M = 3 kg，开始用外力使木板下端与A点对齐，如图。木块质量为m = 1 kg，两者用一轻质细绳绕过光滑定滑轮连接在一起，木板与斜面的动摩擦因数为$\mu = \frac{2}{3}$。现撤去外力让木板由静止开始运动到上端刚好过A点，此过程中，下列说法正确的是 （ ）

A.木板M和木块m组成的系统机械能守恒
B.木板上端刚过A点时速度大小为$\frac{\sqrt{2}}{2}$ m/s
C.木板减少的机械能等于木块增加的机械能与系统产生的热量之和
D.系统产生的热量为10 J

答案： BC[由于斜面是粗糙的，木板$M$和木块$m$组成的系统在运动中会有摩擦生热，所以木板$M$和木块$m$组成的系统机械能不守恒，故A错误；木板$M$和木块$m$组成的系统由能量守恒定律有$Mgl\sin\theta - mgl=\frac{1}{2}(M + m)v^{2}+\mu Mgl\cos\theta$，解得$v=\frac{\sqrt{2}}{2}\text{ m/s}$，故B正确；根据能量守恒定律可知木板减少的机械能等于木块增加的机械能与系统产生的热量之和，故C正确；系统产生的热量为$Q=\mu Mgl\cos\theta = 6\text{ J}$，故D错误。]