《2025年创新设计高考总复习物理人教版》

(2024·江西南昌模拟)如图 2，倾角为$\theta = 30^{\circ}$的光滑斜面与光滑水平面在 B 点平滑连接，倾角为$\alpha = 37^{\circ}$的传送带沿逆时针方向匀速转动，传送带的下端与水平面的右端 D 点通过一小段圆弧连接。在水平面 BD 上的 C 点放一质量为$3m$的小物块 b，在斜面上 A 点由静止释放质量为$m$的小物块 a，A、B 间距离为$L$，a 滑到水平面上后与 b 发生弹性正碰，之后 a、b 将在水平面上发生第二次碰撞，b 与传送带间的动摩擦因数为$0.5$，传送带匀速运动的速度大小为$\sqrt{gL}$，重力加速度为$g$，求：
(1)a 第一次与 b 碰撞前瞬间的速度大小；
(2)第一次碰撞后瞬间 a 与 b 的速度大小；
(3)a、b 第一次碰后到第二次碰撞前的过程，b 在传送带上运动因摩擦产生的内能。

答案： 跟踪训练
(1)$\sqrt{gL}$
(2)$\frac{\sqrt{gL}}{2}$ $\frac{\sqrt{gL}}{2}$
(3)$\frac{6}{5}mgL$
解析
(1)设a与b碰撞前一瞬间，a的速度大小为$v_{0}$，根据机械能守恒定律有$mgL\sin\theta=\frac{1}{2}mv_{0}^{2}$，解得$v_{0}=\sqrt{gL}$。
(2)设a、b碰撞后的速度大小分别为$v_{1}$、$v_{2}$，根据动量守恒定律有$mv_{0}=3mv_{2}-mv_{1}$，根据能量守恒定律有$\frac{1}{2}mv_{0}^{2}=\frac{1}{2}\times3mv_{2}^{2}+\frac{1}{2}mv_{1}^{2}$，解得$v_{1}=v_{2}=\frac{1}{2}v_{0}=\frac{\sqrt{gL}}{2}$。
(3)由于$v_{2}=\frac{\sqrt{gL}}{2}＜\sqrt{gL}$，因此物块b在传送带上先做匀减速运动，后做匀加速运动，根据牛顿第二定律有$3mg\sin\alpha+3\mu mg\cos\alpha=3ma$，解得$a = g\sin\alpha+\mu g\cos\alpha = g$。根据对称性，物块b在传送带上滑、下滑过程所用时间均为$t_{1}=\frac{v_{2}}{a}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{L}{g}}$。物块b第一次在传送带上运动过程，由于摩擦产生的内能为$Q=\mu\cdot3mg\cos\alpha(\frac{1}{2}v_{2}t_{1}+\sqrt{gL}t_{1}+\sqrt{gL}t_{1}-\frac{1}{2}v_{2}t_{1})=\frac{6}{5}mgL$。