《2025年创新设计高考总复习物理人教版》

例8 (2023·湖南卷，15改编)如图10，质量为$M$的匀质凹槽放在光滑水平地面上，凹槽内有一个半椭圆形的光滑轨道，椭圆的半长轴和半短轴分别为$a$和$b$，长轴水平，短轴竖直。质量为$m$的小球，初始时刻从椭圆轨道长轴的右端点由静止开始下滑。以初始时刻椭圆中心的位置为坐标原点，在竖直平面内建立固定于地面的直角坐标系$xOy$，椭圆长轴位于$x$轴上。整个过程凹槽不翻转，重力加速度为$g$。

(1)小球第一次运动到轨道最低点时，求凹槽的速度大小；
(2)凹槽相对于初始时刻运动的距离。

答案：
(1)$\sqrt{\frac{2m^{2}gb}{M(m + M)}}$
(2)$\frac{ma}{M + m}$
解析
(1)小球从静止到第一次运动到轨道最低点的过程，小球和凹槽组成的系统水平方向上动量守恒，有0 = mv1 - Mv2
对小球与凹槽组成的系统，由机械能守恒定律有
mgb = $\frac{1}{2}mv_{1}^{2}+\frac{1}{2}Mv_{2}^{2}$
联立解得v2 = $\sqrt{\frac{2m^{2}gb}{M(m + M)}}$。
(2)根据人船模型规律，在水平方向上有mx1 = Mx2
又由位移关系知x1 + x2 = a
解得凹槽相对于初始时刻运动的距离x2 = $\frac{ma}{M + m}$。