《2025年创新设计高考总复习物理人教版》

例3 如图5所示，固定的水平长杆上套有质量为m的小物块A，跨过轻质定滑轮(可视为质点O)的细线一端连接A，另一端悬挂质量为m的小物块B(B靠近定滑轮)，滑轮到杆的距离OC = $\sqrt{3}h$，开始时A位于P点，PO与水平方向的夹角为30°，重力加速度为g，不计一切摩擦。现将A、B由静止释放，则当AO间的细线与水平方向的夹角为60°时，小物块B的速度大小为　（ 　　）

A.$\sqrt{\frac{4(3-\sqrt{3})gh}{15}}$
B.$\sqrt{\frac{4(\sqrt{3}-1)gh}{15}}$
C.$\sqrt{\frac{4(3-\sqrt{3})gh}{5}}$
D.$\sqrt{\frac{4(\sqrt{3}-1)gh}{5}}$

答案： 例3D[将A、B由静止释放，当AO间的细线与水平方向的夹角为60°时,B下落的高度$H=\frac{\sqrt{3}h}{\sin30^{\circ}}-\frac{\sqrt{3}h}{\sin60^{\circ}} = 2(\sqrt{3}-1)h$，由A 和B组成的系统机械能守恒得$mgH=\frac{1}{2}mv_{A}^{2}+\frac{1}{2}mv_{B}^{2}$，A沿细线方向的分速度与B的速度大小相等，则有$v_{B}=v_{A}\cos60^{\circ}$，解得$v_{B}=\sqrt{\frac{4(\sqrt{3}-1)gh}{5}}$，故D正确。]

例4 如图6所示，竖直平面内固定两根足够长的细杆L1、L2，两杆不接触，且两杆间的距离忽略不计。两个小球a、b(视为质点)质量均为m，a球套在竖直杆L1上，b球套在水平杆L2上，a、b通过铰链用长度为l的刚性轻杆L连接。将a球从图示位置(轻杆与L2杆夹角为45°)由静止释放，不计一切摩擦，已知重力加速度为g。在此后的运动过程中，下列说法中正确的是　（ 　　）

A. a球和b球所组成的系统机械能不守恒
B. b球的速度为零时，a球的加速度大小为零
C. b球的最大速度为$\sqrt{(2 + \sqrt{2})gl}$
D. a球的最大速度为$\sqrt{2gl}$

答案： 例4C[对于a球和b球组成的系统，除重力外没有其他力做功，因此a球和b球所组成的系统机械能守恒，A错误;设轻杆L和水平杆L₂的夹角为θ，由于两球沿杆方向的分速度大小相等，故$v_{b}\cos\theta = v_{a}\sin\theta$，可得$v_{b}=v_{a}\tan\theta$，当b球的速度为零时，轻杆L处于水平位置且与杆L₂平行，则此时a球在竖直方向上只受到重力，因此a球的加速度大小为g，由机械能守恒定律有$mg\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}L=\frac{1}{2}mv_{a}^{2}$，解得$v_{a}=\sqrt{\sqrt{2}gL}$，此时a球具有向下的加速度g，故此時a球的速度不是最大,B、D错误;当轻杆L和L₁第一次平行时,a球运动到最低点,b球运动到L₁和L₂交点位置,b 球的速度达到最大，此时a球的速度为0,由机械能守恒定律有$mg(\frac{\sqrt{2}}{2}l + l)=\frac{1}{2}mv_{b}^{2}$，解得$v_{b}=\sqrt{(2 + \sqrt{2})gl}$，C正确。]

例5(2023·全国甲卷，24)如图7，光滑水平桌面上有一轻质弹簧，其一端固定在墙上。用质量为m的小球压弹簧的另一端，使弹簧的弹性势能为Ep。释放后，小球在弹簧作用下从静止开始在桌面上运动，与弹簧分离后，从桌面水平飞出。小球与水平地面碰撞后瞬间，其平行于地面的速度分量与碰撞前瞬间相等；垂直于地面的速度分量大小变为碰撞前瞬间的$\frac{4}{5}$。小球与地面碰撞后，弹起的最大高度为h，重力加速度大小为g，忽略空气阻力。求：

(1)小球离开桌面时的速度大小；
(2)小球第一次落地点距桌面上其飞出点的水平距离。
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答案： 例5
(1)$\sqrt{\frac{2E_{p}}{m}}$　
(2)$\frac{5}{2}\sqrt{\frac{hE_{p}}{mg}}$
解析　
(1)从释放弹簧到小球离开桌面的过程中，小球与弹簧组成的系统机械能守恒，设小球离开桌面时的速度大小为$v_{0}$，由机械能守恒定律有$E_{p}=\frac{1}{2}mv_{0}^{2}$
解得$v_{0}=\sqrt{\frac{2E_{p}}{m}}$。
(2)小球与地面碰撞弹起后在竖直方向做竖直上抛运动，设弹起时小球的竖直速度为$v_{y1}$，由运动学公式有$v_{y1}^{2}=2gh$
设小球落地前的瞬间竖直方向速度大小为$v_{y}$，有$v_{y1}=\frac{4}{5}v_{y}$
小球从桌面水平飞出后，做平抛运动的过程中，有$v_{y}=gt$
其水平位移$x = v_{0}t$
联立解得$x=\frac{5}{2}\sqrt{\frac{hE_{p}}{mg}}$。