《2025年创新设计高考总复习物理人教版》

例6 近几年来，我国生产的“蛟龙号”下潜突破7000 m大关，我国的北斗导航系统也进入紧密的组网阶段。已知质量分布均匀的球壳对壳内任一质点的万有引力为零，将地球看成半径为$R$、质量分布均匀的球体，北斗导航系统中的一颗卫星的轨道距离地面的高度为$h$，“蛟龙号”下潜的深度为$d$，则该卫星所在处的重力加速度与“蛟龙号”所在处的重力加速度的大小之比为（ ）
A.$\frac{R - d}{R + h}$ B.$(\frac{R - d}{R + h})^2$
C.$\frac{R^3}{(R + h)^2(R - d)}$ D.$\frac{(R - d)(R + h)}{R^2}$

答案： C [设地球的密度为$\rho$，在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，有$G\frac{Mm}{R^{2}} = mg$，由于地球的质量$M=\rho V=\rho\cdot\frac{4}{3}\pi R^{3}$，联立解得$g=\frac{4}{3}\pi G\rho R$，在深度为d的地球内部，“蛟龙号”受到地球的万有引力等于半径为$(R - d)$的球体表面的重力，“蛟龙号”在海里所处位置的重力加速度为$g_{1}=\frac{4}{3}\pi G\rho(R - d)$，联立可得$\frac{g_{1}}{g}=\frac{R - d}{R}$，卫星在高度h处受到的重力，即为该处受到的万有引力，即$mg_{2}=\frac{GMm}{(R + h)^{2}}$，解得加速度$g_{2}=\frac{GM}{(R + h)^{2}}=\frac{R^{2}}{(R + h)^{2}}g$，所以$\frac{g_{2}}{g_{1}}=\frac{R^{3}}{(R + h)^{2}(R - d)}$，故C正确。]