《2025年创新设计高考总复习物理人教版》

角度1 “单棒＋电阻”模型
例1（2024·云南昆明模拟）如图1(a)所示，两根不计电阻、间距为L的足够长平行光滑金属导轨，竖直固定在匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向里，磁感应强度大小为B。导轨上端串联非线性电子元件Z和阻值为R的电阻。元件Z的U - I图像如图(b)所示，当流过元件Z的电流大于或等于$I_{0}$时，电压稳定为$U_{m}$。质量为m、不计电阻的金属棒可沿导轨运动，运动中金属棒始终水平且与导轨保持良好接触。忽略空气阻力及回路中的电流对原磁场的影响，重力加速度为g。
为了方便计算，取$I_{0}=\frac{mg}{4BL}$，$U_{m}=\frac{mgR}{2BL}$。以下计算结果只能选用m、g、B、L、R表示。
　　　
(1)闭合开关S，由静止释放金属棒，求金属棒下落的最大速度$v_{1}$；
(2)断开开关S，由静止释放金属棒，求金属棒下落的最大速度$v_{2}$。

答案：
(1)$\frac{mgR}{B^{2}L^{2}}$
(2)$\frac{3mgR}{2B^{2}L^{2}}$
解析
(1)闭合开关S，金属棒下落的过程中受竖直向下的重力、竖直向上的安培力作用，当重力与安培力大小相等时，金属棒的加速度为零，速度最大，则$mg = I_{1}LB$
由法拉第电磁感应定律得$E_{1}=BLv_{1}$
由闭合电路欧姆定律得$I_{1}=\frac{E_{1}}{R}$
解得$v_{1}=\frac{mgR}{B^{2}L^{2}}$。
(2)由第
(1)问得$I_{1}=\frac{mg}{BL}$
由于$I_{0}＜I_{1}$
则断开开关S后，当金属棒的速度达到最大时，元件Z两端的电压恒为$U_{m}=\frac{mgR}{2BL}$
此时定值电阻两端的电压为$U_{R}=BLv_{2}-U_{m}$
回路中的电流为$I_{2}=I_{1}$
又由欧姆定律得$I_{2}=\frac{U_{R}}{R}$
解得$v_{2}=\frac{3mgR}{2B^{2}L^{2}}$。

1.(多选)(2024·湖南长沙模拟)如图2甲所示，MN、PQ两条平行的光滑金属轨道与水平面成θ＝30°角固定，间距为L＝1 m，质量为m的金属杆ab垂直放置在轨道上且与轨道接触良好，其阻值忽略不计。空间存在匀强磁场，磁场方向垂直于轨道平面向上，磁感应强度为B＝0.5 T。P、M间接有阻值为$R_{1}$的定值电阻，Q、N间接电阻箱R。现从静止释放ab，改变电阻箱的阻值R，测得最大速度为$v_{m}$，得到$\frac{1}{v_{m}}$与$\frac{1}{R}$的关系如图乙所示。
若轨道足够长且电阻不计，重力加速度g取10 m/s²，则
　　　
A.金属杆中感应电流方向为由a到b
B.金属杆所受的安培力的方向沿轨道向上
C.金属杆的质量为1 kg
D.定值电阻的阻值为1 Ω

答案： BD [根据右手定则判断，金属杆中感应电流方向为由b到a，故A错误；由左手定则可知，金属杆所受的安培力沿轨道向上，故B正确；总电阻为$R_{总}=\frac{RR_{1}}{R + R_{1}}$，通过ab的电流为$I=\frac{BLv}{R_{总}}$，当达到最大速度时，金属杆受力平衡，则有$mg\sin\theta = ILB=\frac{B^{2}L^{2}v_{m}}{R_{1}R}\cdot(R_{1}+R)$，变形得$\frac{1}{v_{m}}=\frac{B^{2}L^{2}}{mg\sin\theta}\cdot\frac{1}{R}+\frac{B^{2}L^{2}}{mgR_{1}\sin\theta}$，由图像得$\frac{B^{2}L^{2}}{mg\sin\theta}=k=\frac{3 - 0.5}{5 - 0}s\cdot m^{-1}\cdot\Omega$，$\frac{B^{2}L^{2}}{mgR_{1}\sin\theta}=b = 0.5s\cdot m^{-1}$，解得$m = 0.1kg$，$R_{1}=1\Omega$，故C错误，D正确。]