《2025年创新设计高考总复习物理人教版》

例1（多选）(2024·河北衡水模拟)如图1所示，足够长光滑水平面上，一轻质弹簧左端与质量为$2m$的$B$滑块相连，右端与质量为$m$的滑块$A$接触而不相连，弹簧处于原长，现给$A$施加一瞬时冲量使其获得一个水平向左的初速度$v_{0}$，经一段时间后滑块$A$与弹簧分离，其间弹簧的最大弹性势能为$E_{p}$，则下列说法正确的是 （ ）
　　　　　　　　　　　
A.$A$与弹簧分离前任一时刻，$A$与$B$的动量之比为$1:2$
B.若事先将$B$固定，弹簧的最大弹性势能为$1.5E_{p}$
C.两者分离后$A$、$B$的动能之比为$1:8$
D.若事先在距$B$左侧很远处固定一刚性挡板，则最终$B$不可能追上$A$

答案： BC [A与弹簧分离之前任一时刻，A与B受到的弹力始终大小相等，方向相反，因而受到的冲量的大小相等，但A具有一定的初速度，因而两者的速度大小不一定相等，即动量大小之比不一定为1∶2，A错误；A、B运动过程中，二者相对静止时，弹性势能最大，由动量守恒定律有$mv_{0}=3mv$，由能量守恒定律得$E_{p}=\frac{1}{2}mv_{0}^{2}-\frac{1}{2}\times3m\times\frac{v_{0}^{2}}{9}=\frac{1}{3}mv_{0}^{2}$，B固定，则A速度减小为0时弹性势能最大，可得$E_{p}'=\frac{1}{2}mv_{0}^{2}=1.5E_{p}$，B正确；整个过程系统动量守恒、机械能守恒，则$mv_{0}=mv_{A}+2mv_{B}$，$\frac{1}{2}mv_{0}^{2}=\frac{1}{2}mv_{A}^{2}+\frac{1}{2}\times2mv_{B}^{2}$，解得$v_{A}=-\frac{v_{0}}{3}$，$v_{B}=\frac{2v_{0}}{3}$，则有$E_{kA}=\frac{1}{2}mv_{A}^{2}=\frac{1}{18}mv_{0}^{2}$，$E_{kB}=\frac{1}{2}\times2mv_{B}^{2}=\frac{4}{9}mv_{0}^{2}$，即两者分离后A、B的动能之比为1∶8，C正确；由前面分析可知B与挡板发生弹性碰撞反向运动时$v_{B}＞v_{A}$，则B可追上A，D错误。]

1.(2023·北京通州高三一模)如图2甲所示，一轻弹簧的两端分别与质量为$m_{1}$和$m_{2}$的两物块相连接，并且静止在光滑的水平桌面上。现使$m_{1}$瞬时获得水平向右的速度$3\ m/s$，以此刻为计时零点，两物块的速度随时间变化的规律如图乙所示，以下说法正确的是 （ ）
　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.两物块的质量之比为$m_{1}:m_{2}=2:1$
B.在$t_{1}$时刻和$t_{3}$时刻弹簧的弹性势能均能达到最大值
C.$t_{1}～t_{2}$时间内，弹簧的长度大于原长
D.$t_{2}～t_{3}$时间内，弹簧的弹力逐渐减小

答案： B [以$m_{1}$的初速度方向为正方向，$t_{1}$时刻A、B共速，由动量守恒定律得$m_{1}v_{1}=(m_{1}+m_{2})v_{共}$，将$v_{1}=3m/s$，$v_{共}=1m/s$代入解得$m_{1}:m_{2}=1:2$，故A错误；根据系统能量守恒可知在$t_{1}$时刻和$t_{3}$时刻，系统的动能最小，弹簧的弹性势能达到最大值，故B正确；在$t_{1}$时刻弹簧压缩至最短，所以$t_{1}\sim t_{2}$时间内，弹簧的长度小于原长，故C错误；$t_{2}\sim t_{3}$时间内，弹簧处于拉伸阶段，弹力逐渐增大，故D错误。]

2.[2023·辽宁卷,15(1)(2)]如图3，质量$m_{1}=1\ kg$的木板静止在光滑水平地面上，右侧的竖直墙面固定一劲度系数$k = 20\ N/m$的轻弹簧，弹簧处于自然状态。质量$m_{2}=4\ kg$的小物块以水平向右的速度$v_{0}=\frac{5}{4}\ m/s$滑上木板左端，两者共速时木板恰好与弹簧接触。木板足够长，物块与木板间的动摩擦因数$\mu = 0.1$，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。弹簧始终处在弹性限度内，弹簧的弹性势能$E_{p}$与形变量$x$的关系为$E_{p}=\frac{1}{2}kx^{2}$，取重力加速度$g = 10\ m/s^{2}$，结果可用根式表示。

(1)求木板刚接触弹簧时速度$v_{1}$的大小及木板运动前右端距弹簧左端的距离$x_{1}$；
(2)求木板与弹簧接触以后，物块与木板之间即将相对滑动时弹簧的压缩量$x_{2}$及此时木板速度$v_{2}$的大小。

答案：
(1)1 m/s 0.125 m
(2)0.25 m $\frac{\sqrt{3}}{2}$ m/s
解析
(1)小物块从滑上木板到两者共速的过程，由动量守恒定律有$m_{2}v_{0}=(m_{1}+m_{2})v_{1}$
解得$v_{1}=1m/s$
两者共速前，对木板，由牛顿第二定律有$\mu m_{2}g=m_{1}a$
解得$a = 4m/s^{2}$
由运动学公式有$2ax_{1}=v_{1}^{2}$
解得$x_{1}=0.125m$。
(2)木板与弹簧接触后，物块与木板先一起减速，当物块受到的摩擦力达到最大静摩擦力时，两者之间即将相对滑动，
对物块有$\mu m_{2}g=m_{2}a'$
对整体有$kx_{2}=(m_{1}+m_{2})a'$
解得$x_{2}=0.25m$
从木板接触弹簧到物块与木板之间即将相对滑动的过程，物块、木板和弹簧三者组成的系统机械能守恒，则有
$\frac{1}{2}(m_{1}+m_{2})v_{1}^{2}=\frac{1}{2}(m_{1}+m_{2})v_{2}^{2}+\frac{1}{2}kx_{2}^{2}$
解得$v_{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}m/s$。