《2025年创新设计高考总复习物理人教版》

例7 我国是第三个对火星探测并将探测器着陆火星的国家，探测器在环绕火星表面飞行时周期是$T$。火星表面气体非常稀薄可近似认为真空，火星表面附近以初速度$v_0$水平抛出一个物体，测得抛出点距火星表面高度为$h$，落到火星表面时物体的水平位移为$x$，已知引力常量为$G$，下列说法正确的是（ ）
A.火星表面重力加速度大小是$\frac{2hx}{v_0^2}$
B.火星的半径是$\frac{2hT^2v_0^2}{\pi^2x^2}$
C.火星的质量是$\frac{h^3T^4v_0^6}{2G\pi^4x^6}$
D.火星的密度是$\frac{3\pi x}{GT^2h}$

答案： C [设物体在火星表面附近做类平抛运动的时间为t，水平方向$x = v_{0}t$，竖直方向$h=\frac{1}{2}g't^{2}$，联立得$g'=\frac{2hv_{0}^{2}}{x^{2}}$，探测器在环绕火星表面飞行时周期是T，可得加速度为$g'=\omega^{2}R = R\frac{4\pi^{2}}{T^{2}}$，联立得$R=\frac{hT^{2}v_{0}^{2}}{2\pi^{2}x^{2}}$，A、B错误；在火星表面有$mg'=G\frac{Mm}{R^{2}}$，解得$M=\frac{h^{3}T^{4}v_{0}^{6}}{2G\pi^{4}x^{6}}$，C正确；火星的密度$\rho=\frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^{3}}=\frac{3\pi}{GT^{2}}$，D错误。]

例8（2023·辽宁卷，7）在地球上观察，月球和太阳的角直径（直径对应的张角）近似相等，如图5所示。若月球绕地球运动的周期为$T_1$，地球绕太阳运动的周期为$T_2$，地球半径是月球半径的$k$倍，则地球与太阳的平均密度之比约为（ ）

A.$k^3(\frac{T_1}{T_2})^2$ B.$k^3(\frac{T_2}{T_1})^2$
C.$\frac{1}{k^3}(\frac{T_1}{T_2})^2$ D.$\frac{1}{k^3}(\frac{T_2}{T_1})^2$

答案： D [设太阳、地球、月球的半径分别为$R_{太}$、$R_{地}$、$R_{月}$，月球绕地球转动的半径为$r_{月}$，地球绕太阳转动的半径为$r_{地}$，根据题意，由几何关系，有$\frac{R_{太}}{r_{地}}=\frac{R_{月}}{r_{月}}$，根据万有引力提供向心力，有$\frac{GM_{地}m_{月}}{r_{月}^{2}}=m_{月}\frac{4\pi^{2}}{T_{1}^{2}}r_{月}$，$\frac{GM_{太}M_{地}}{r_{地}^{2}}=M_{地}\frac{4\pi^{2}}{T_{2}^{2}}r_{地}$，星球的密度$\rho_{地}=\frac{M_{地}}{\frac{4}{3}\pi R_{地}^{3}}$，$\rho_{太}=\frac{M_{太}}{\frac{4}{3}\pi R_{太}^{3}}$，可得$\frac{\rho_{地}}{\rho_{太}}=(\frac{R_{月}}{R_{地}})^{3}(\frac{T_{2}}{T_{1}})^{2}=\frac{1}{k^{3}}(\frac{T_{2}}{T_{1}})^{2}$，故D正确，A、B、C错误。]

（多选）（2024·山东临沂模拟）中国新闻网宣布：在摩洛哥坠落的陨石被证实来自火星。某同学想根据平时收集的部分火星资料计算出火星的密度，再与这颗陨石的密度进行比较。下列计算火星密度的公式正确的是（引力常量$G$已知，忽略火星自转的影响）（ ）
火星的小档案
直径$d = 6794 km$
质量$M = 6.4219×10^{23} kg$
表面重力加速度$g_0 = 3.7 m/s^2$
近火卫星周期$T = 3.4 h$
A.$\rho=\frac{3g_0}{2\pi Gd}$ B.$\rho=\frac{g_0T^2}{3\pi d}$
C.$\rho=\frac{3\pi}{GT^2}$ D.$\rho=\frac{6M}{\pi d^3}$

答案： ACD [设近火卫星的质量为m，火星的质量为M，对近火卫星，火星的万有引力提供其做匀速圆周运动的向心力，则$\frac{GMm}{(\frac{d}{2})^{2}}=m\frac{4\pi^{2}}{T^{2}}\cdot\frac{d}{2}$，可得$M=\frac{\pi^{2}d^{3}}{2GT^{2}}$，可得火星的密度为$\rho=\frac{M}{\frac{4}{3}\pi(\frac{d}{2})^{3}}=\frac{6M}{\pi d^{3}}$，将$M=\frac{\pi^{2}d^{3}}{2GT^{2}}$代入上式可得$\rho=\frac{3\pi}{GT^{2}}$，故C、D正确；又火星对近火卫星的万有引力近似等于近火卫星的重力，则有$mg_{0}=G\frac{Mm}{(\frac{d}{2})^{2}}$，解得$M=\frac{g_{0}d^{2}}{4G}$，因此火星的密度为$\rho=\frac{M}{\frac{4}{3}\pi(\frac{d}{2})^{3}}=\frac{\frac{g_{0}d^{2}}{4G}}{\frac{1}{6}\pi d^{3}}=\frac{3g_{0}}{2\pi Gd}$，A正确，B错误。]