《2025年创新设计高考总复习物理人教版》

如图2所示，质子以初速度v进入磁感应强度为B且足够大的匀强磁场中，速度方向与磁场方向的夹角为θ。已知质子的质量为m、电荷量为e。质子重力不计，则下列说法正确的是(　　)

A.质子运动的轨迹为螺旋线，螺旋线的中轴线方向垂直于纸面向里
B.质子在垂直于磁场平面做圆周运动的半径为$\frac{mv\cos\theta}{eB}$
C.质子做螺旋线运动的周期为$\frac{2\pi m}{eB\sin\theta}$
D.一个周期内，质子沿着螺旋线轴线方向运动的距离(即螺距)为$\frac{2\pi mv\cos\theta}{eB}$

答案： D [将质子的初速度分解为垂直于磁场方向的速度$v_{1}=v\sin\theta$，沿磁场方向的速度$v_{2}=v\cos\theta$，质子沿垂直磁场方向做匀速圆周运动，沿磁场方向做匀速直线运动，则质子运动的轨迹为螺旋线，螺旋线的中轴线方向平行磁场方向，选项A错误；质子做螺旋线运动的半径为$r=\frac{mv_{1}}{eB}=\frac{mv\sin\theta}{eB}$，选项B错误；质子做螺旋线运动的周期为$T=\frac{2\pi r}{v_{1}}=\frac{2\pi m}{eB}$，选项C错误；一个周期内，质子沿着螺旋线轴线方向运动的距离(即螺距)为$x = v_{2}T=\frac{2\pi mv\cos\theta}{eB}$，选项D正确。]

例2 某离子加速偏转实验装置部分的示意图如图3所示，z轴正方向垂直于xOy平面向外。α粒子在加速器内经电压U加速后，在S(0,L,0)点沿x轴正方向进入Ⅰ区域，该区域沿x轴方向的宽度为L，区域内存在沿y轴正方向的匀强电场，电场强度大小E=$\frac{2U}{L}$。α粒子经偏转后进入Ⅱ区域，该区域沿x轴方向的宽度为3L，内部某圆形区域存在沿z轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小为B=$\frac{1}{L}\sqrt{\frac{Um}{e}}$。α粒子经过Ⅱ区域的磁场后速度方向偏转90°，再进入Ⅲ区域，该区域存在沿x轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小为2B，α粒子离开Ⅲ区域时速度方向平行于xOz平面，且与z轴负方向成45°角。已知α粒子的电荷量为2e、质量为m，不计粒子重力。求：
(1)α粒子在Ⅰ区域内沿y轴方向的侧移量y₁；
(2)Ⅱ区域内圆形磁场区域的最小面积Sₘᵢₙ；
(3)Ⅲ区域沿x轴方向的可能宽度d。

答案：
考点二
例2
(1)$\frac{L}{2}$
(2)$\pi L^{2}$
(3)$(n+\frac{3}{4})\pi L(n = 0,1,2,\cdots)$
解析
(1)$\alpha$粒子经过加速器过程，根据动能定理可得
$2eU=\frac{1}{2}mv_{0}^{2}$
解得$v_{0}=\sqrt{\frac{4eU}{m}}$
$\alpha$粒子在Ⅰ区域内做类平抛运动，则有
$L = v_{0}t$，$y_{1}=\frac{1}{2}at^{2}$，$a=\frac{2eE}{m}$
联立解得$y_{1}=\frac{EL^{2}}{4U}=\frac{L}{2}$。
(2)$\alpha$粒子离开Ⅰ区域时速度大小为v，与x轴正方向的夹角为$\theta$，则有$v=\sqrt{v_{0}^{2}+v_{y}^{2}}$，$\tan\theta=\frac{v_{y}}{v_{0}}$，$v_{y}=at$
联立解得$v_{y}=v_{0}$，$v=\sqrt{2}v_{0}=\sqrt{\frac{8eU}{m}}$，$\theta = 45^{\circ}$
$\alpha$粒子进入Ⅱ区域中圆形区域的匀强磁场中，由洛伦兹力提供向心力得$2evB = m\frac{v^{2}}{r}$
解得$r=\frac{mv}{2eB}=\sqrt{2}L$
$\alpha$粒子经过Ⅱ区域的磁场后速度方向偏转$90^{\circ}$，如图所示
当$\alpha$粒子轨迹对应弦长等于圆形磁场直径时，圆形磁场的面积最小，则有

$R=\frac{\sqrt{2}}{2}r = L$
Ⅱ区域内圆形磁场区域的最小面积为
$S_{\min}=\pi R^{2}=\pi L^{2}$。
(3)$\alpha$粒子进入Ⅲ区域时速度方向与y轴负方向成$45^{\circ}$角，将$\alpha$粒子进入Ⅲ区域时的速度分解到+x轴方向和-y方向，则有
$v_{x}=v_{0}=\sqrt{\frac{4eU}{m}}$
$v_{y}'=v_{0}=\sqrt{\frac{4eU}{m}}$
由于磁场方向沿x轴正方向，则$\alpha$粒子沿x轴正方向以$v_{0}$做匀速直线运动，同时$\alpha$粒子在$yOz$平面内做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力可得$2ev_{y}'\cdot 2B = m\frac{v_{y}'^{2}}{r_{2}}$
解得$r_{2}=\frac{1}{2}L$
根据题意有$\alpha$粒子离开Ⅲ区域时速度方向平行于$xOz$平面，且与z轴负方向成$45^{\circ}$角，由于$v_{x}=v_{0}=v_{y}'$
则$\alpha$粒子在$yOz$平面内做匀速圆周运动离开时速度方向刚好沿z轴负方向，$\alpha$粒子在Ⅲ区域中的运动时间为
$t=(n+\frac{3}{4})T=(n+\frac{3}{4})\cdot\frac{2\pi r_{2}}{v_{y}'}$
$=\frac{(n+\frac{3}{4})\pi L}{v_{0}}(n = 0,1,2,\cdots)$
则Ⅲ场区沿x轴方向的宽度为
$d = v_{x}t=v_{0}t=(n+\frac{3}{4})\pi L(n = 0,1,2,\cdots)$。