《2025年创新设计高考总复习物理人教版》

例4 (2023·重庆卷，14)如图5所示，桌面上固定有一半径为$R$的水平光滑圆轨道，$M$、$N$为轨道上的两点，且位于同一直径上，$P$为$MN$段的中点。在$P$点处有一加速器(大小可忽略)，小球每次经过$P$点后，其速度大小都增加$v_{0}$。质量为$m$的小球1从$N$处以初速度$v_{0}$沿轨道逆时针运动，与静止在$M$处的小球2发生第一次弹性碰撞，碰后瞬间两球速度大小相等。忽略每次碰撞时间。求：

(1)球1第一次经过$P$点后瞬间向心力的大小；
(2)球2的质量；
(3)两球从第一次碰撞到第二次碰撞所用时间。

答案：
(1)4m$\frac{v_{0}^{2}}{R}$
(2)3m
(3)$\frac{5\pi R}{6v_{0}}$
解析
(1)球1第一次经过P点后瞬间速度变为2v0，所以Fn = m$\frac{(2v_{0})^{2}}{R}$=4m$\frac{v_{0}^{2}}{R}$。
(2)球1与球2发生弹性碰撞，且碰后速度大小相等，说明球1碰后反弹，则m·2v0 = - mv + m'v
$\frac{1}{2}m(2v_{0})^{2}=\frac{1}{2}mv^{2}+\frac{1}{2}m'v^{2}$
联立解得v = v0，m' = 3m。
(3)设两球从第一次碰撞到第二次碰撞所用时间为Δt，则球1回到P点所需时间t1 = $\frac{\pi R}{2v_{0}}$
此后到两球再次相碰，有v0t2 + 2v0t2 = πR
所以Δt = t1 + t2 = $\frac{5\pi R}{6v_{0}}$。

例5 (2024·北京四中质检)如图6所示，超市为节省收纳空间，常常将手推购物车相互嵌套进行收纳。质量均为$m = 16$ kg的两辆购物车相距$L_{1}=1$ m静止在水平面上。第一辆车在工作人员猛推一下后，沿直线运动与第二辆车嵌套在一起，继续运动了$L_{2}=1.25$ m后停了下来。人推车时间、两车相碰时间极短，可忽略，车运动时受到的阻力恒为车重的0.25倍，重力加速度取$g = 10$ m/s²，求：

(1)两辆车从嵌套后运动到停下来所用时间；
(2)两辆车在嵌套过程中损失的机械能；
(3)工作人员对第一辆车所做的功。

答案：
(1)1 s
(2)100 J
(3)240 J
解析
(1)对整体，由牛顿第二定律有k×2mg = 2ma
解得a = 2.5 m/s²
逆向过程有L2 = $\frac{1}{2}at^{2}$，解得t = 1 s。
(2)嵌套后，对整体有0 = v2 - at，v2 = 2.5 m/s
嵌套过程中有mv1 = 2mv2，解得v1 = 5 m/s
在嵌套过程中损失的机械能ΔE = $\frac{1}{2}mv_{1}^{2}-\frac{1}{2}\times2mv_{2}^{2}$
解得ΔE = 100 J。
(3)对第一辆小车，由动能定理得W - kmgL1 = $\frac{1}{2}mv_{1}^{2}-0$
解得W = 240 J。