《2025年创新设计高考总复习物理人教版》

角度3 三角形或多边形边界磁场
例5（多选）（2024·吉林长春模拟）如图9所示，在直角三角形$CDE$区域内有磁感应强度为$B$垂直纸面向外的匀强磁场，$P$为直角边$CD$的中点，$\angle C = 30^{\circ}$，$CD = 2L$，一束相同的带负电粒子以不同的速率从$P$点垂直于$CD$射入磁场，粒子的比荷为$k$，不计粒子间的相互作用和重力，则下列说法正确的是（ ）

A.速率不同的粒子在磁场中运动时间一定不同
B.从$CD$边飞出的粒子最大速率为$\frac{kBL}{2}$
C.粒子从$DE$边飞出的区域长度可以大于$L$
D.从$CE$边飞出的粒子在磁场中运动的最长时间为$\frac{\pi}{3kB}$

答案：
例5BD　[速率小的粒子在CD边射出时,粒子在磁场中的运动轨迹为半圆，运动时间为周期一半，而粒子做圆周运动的周期相同,从CD边飞出的粒子在磁场中运动时间可能相同，故A错误;根据左手定则，粒子向左偏转,从CD边飞出的粒子最远从D点飞出，此时半径为R = $\frac{L}{2}$，根据洛伦兹力提供向心力有qvB = m$\frac{v^{2}}{R}$，解得v = $\frac{kBL}{2}$，即从CD边飞出的粒子最大速率为$\frac{kBL}{2}$，故B正确;粒子与CE相切从DE飞出时，是粒子从DE飞出的最远点，如图所示，由几何关系得DE = $\frac{1}{2}CD$ = L，粒子从DE边飞出的区域长度最大为L，故C错误;粒子与CE相切飞出时在磁场中运动的时间最长，由几何关系可得∠FDC = 60°，粒子在磁场中运动的最长时间为t = $\frac{60^{\circ}}{360^{\circ}}\times\frac{2\pi m}{qB}$ = $\frac{\pi}{3kB}$，故D正确。]

例6（多选）（2024·辽宁大连模拟）如图10，在一个边长为$a$的正六边形区域内，存在磁感应强度为$B$、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，三个相同的带正电粒子，比荷为$\frac{q}{m}$，先后从$A$点沿$AD$方向以大小不等的速率射入匀强磁场区域，已知粒子只受磁场的作用力，则（ ）

A.从$F$点飞出磁场的粒子速度大小为$\frac{\sqrt{3}qaB}{m}$
B.所有从$AF$边上飞出磁场的粒子，在磁场中的运动时间都相同
C.从$E$点飞出磁场的粒子，在磁场中的运动时间为$\frac{\pi m}{3qB}$
D.从$ED$边上的某一点垂直$ED$飞出磁场的粒子，其轨道半径为$2\sqrt{3}a$

答案：
例6BCD[设从F点飞出的粒子在正六边形区域磁场中做圆周运动的半径为r₁，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得qvB = m$\frac{v^{2}}{r_{1}}$，由几何关系可得r₁ = $\frac{a}{2\sin 60^{\circ}}$ = $\frac{\sqrt{3}a}{3}$，联立解得v = $\frac{\sqrt{3}qBa}{3m}$，故A错误;粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为T = $\frac{2\pi m}{qB}$，所有从AF边上飞出磁场的粒子，在磁场中转过的圆心角均为120°，则在磁场中的运动时间均为t = $\frac{120^{\circ}}{360^{\circ}}T$ = $\frac{1}{3}\times\frac{2\pi m}{qB}$ = $\frac{2\pi m}{3qB}$，故B正确;由几何关系可得，从E点飞出的粒子在磁场中转过的圆心角60°，粒子在磁场中的运动时间为t = $\frac{60^{\circ}}{360^{\circ}}T$ = $\frac{1}{6}\times\frac{2\pi m}{qB}$ = $\frac{\pi m}{3qB}$，故C正确;由几何关系可得，从ED边上的某一点垂直ED飞出磁场的粒子，在磁场中转过的圆心角为30°，则有AE = 2a cos 30° = $\sqrt{3}a$，r₃ = $\frac{AE}{\sin 30^{\circ}}$ = 2$\sqrt{3}a$，故D正确。]