《2025年创新设计高考总复习物理人教版》

例2（2023·辽宁卷，14）如图3，水平放置的两平行金属板间存在匀强电场，板长是板间距的$\sqrt{3}$倍。金属板外有一圆心为$O$的圆形区域，其内部存在磁感应强度大小为$B$、方向垂直于纸面向外的匀强磁场。质量为$m$、电荷量为$q$（$q＞0$）的粒子沿中线以速度$v_{0}$水平向右射入两板间，恰好从下板边缘$P$点飞出电场，并沿$PO$方向从图中$O'$点射入磁场。已知圆形磁场区域半径为$\frac{2mv_{0}}{3qB}$，不计粒子重力。
　　　　　　
（1）求金属板间电势差$U$；
（2）求粒子射出磁场时与射入磁场时运动方向间的夹角$\theta$；
（3）仅改变圆形磁场区域的位置，使粒子仍从图中$O'$点射入磁场，且在磁场中的运动时间最长。定性画出粒子在磁场中的运动轨迹及相应的弦，标出改变后的圆形磁场区域的圆心$M$。

答案：
例2
(1)$\frac{mv_{0}^{2}}{3q}$　
(2)$60^{\circ}$　
(3)见解析图
解析　
(1)设平行金属板间距为$d$，则平行金属板板长为$\sqrt{3}d$，粒子在两平行金属板间做类平抛运动
水平方向：$\sqrt{3}d = v_{0}t$
竖直方向：$\frac{1}{2}d=\frac{v_{y}}{2}t$
又$v_{y}=\frac{qU}{md}t$
联立解得$U=\frac{mv_{0}^{2}}{3q}$。
(2)粒子进入磁场时的速度$v=\sqrt{v_{0}^{2}+v_{y}^{2}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}v_{0}$
设速度与水平方向的夹角为$\alpha$，有$\tan\alpha=\frac{v_{y}}{v_{0}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
则$\alpha = 30^{\circ}$
由$qvB=\frac{mv^{2}}{r}$得
粒子在磁场中做圆周运动的半径$r=\frac{mv}{qB}=\frac{2\sqrt{3}mv_{0}}{3qB}$
已知圆形磁场半径$R=\frac{2mv_{0}}{3qB}$，则$r=\sqrt{3}R$
作出粒子在磁场中的运动轨迹，如图甲所示
粒子射出磁场时与射入磁场时运动方向间的夹角$\theta$与粒子在磁场中运动轨迹所对应的圆心角相等，由几何关系可得
$\tan\frac{\theta}{2}=\frac{R}{r}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
故$\theta = 60^{\circ}$。
(3)根据几何关系，将磁场圆绕$O'$点顺时针旋转，当$O$点转到$M$点，粒子在磁场中的运动轨迹相应的弦为磁场圆的直径时，粒子在磁场中的运动时间最长。作出粒子在磁场中的运动轨迹及相应的弦，标出改变后的磁场圆的圆心$M$，如图乙所示。

例3（2024·河北衡水模拟）如图4所示，$xOy$坐标系的第一象限，一等腰三角形$OAC$，底角为$53^{\circ}$，底边长为$14L$，内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为$B$，在$OC$边界的左侧有与$y$轴平行的匀强电场，$D$是底边$OA$的中点。质量为$m$，电荷量为$q$的带正电的粒子以一定的初速度，从$OA$边上的$D$点沿$y$轴正方向垂直射入磁场，恰好从$OC$边上某点沿着与$x$轴平行的方向射入匀强电场（不计粒子的重力），求：
　　　　　　
（1）粒子的速度大小；
（2）粒子离开磁场后，经过$x$轴上$N$点（图中没有标出），已知$NO = 5L$，求匀强电场的电场强度；
（3）求粒子从$D$点到达$N$点所经历的时间。

答案：
例3
(1)$\frac{4qBL}{m}$　
(2)$\frac{2qB^{2}L}{m}$　
(3)$\frac{(4 + \pi)m}{2qB}$
解析　
(1)粒子在磁场中匀速圆周运动的轨迹如图所示，粒子做圆周运动的圆心为$G$，根据几何关系有$GD = FG = R$，$OG=\frac{3}{4}R$，
则$OD = R+\frac{3}{4}R = 7L$
解得$R = 4L$
根据洛伦兹力提供向心力有$qvB = m\frac{v^{2}}{R}$
解得$v=\frac{4qBL}{m}$。
(2)粒子在电场中的类平抛运动轨迹如上图所示，
粒子在垂直电场线方向做匀速直线运动，位移为$x = GN = 8L$
沿电场线方向做匀加速直线运动，位移为$y = FG = 4L$
根据$x = vt$，$y=\frac{1}{2}at^{2}$，$a=\frac{qE}{m}$
解得$E=\frac{2qB^{2}L}{m}$。
(3)设粒子在磁场中运动的时间为$t_{1}$，在电场中运动的时间为$t_{2}$，$t_{1}=\frac{1}{4}T$
带电粒子在磁场中运动的周期为$T=\frac{2\pi m}{qB}$
联立得$t_{1}=\frac{\pi m}{2qB}$，$x = GN = 8L = vt_{2}$
解得$t_{2}=\frac{2m}{qB}$
所以时间$t = t_{1}+t_{2}=\frac{(4 + \pi)m}{2qB}$。

例4（2024·湖南常德高三月考）如图5所示，在$x$轴上方存在磁感应强度为$B$、方向垂直纸面向里的匀强磁场，在$x$轴下方存在竖直向上的匀强电场。一个质量为$m$、电荷量为$q$、重力不计的带正电粒子从$y$轴上的$P(0,h)$点沿$y$轴正方向以某初速度开始运动，一段时间后，粒子与$x$轴正方向成$\theta = 60^{\circ}$第一次进入电场。求：
　　　　　
（1）粒子在磁场中运动的轨道半径$r$和速度大小$v$；
（2）若粒子经过$y$轴上$Q$点时速度方向恰好与$y$轴垂直，匀强电场的电场强度大小$E$；
（3）粒子返回出发点$P$所用的总时间$t$。

答案：
例4
(1)$2h$　$\frac{2qBh}{m}$　
(2)$\frac{(2\sqrt{3}-3)qB^{2}h}{m}$　
(3)$\frac{7\pi m}{3qB}+\frac{2(\sqrt{3}+2)m}{qB}$
解析　
(1)粒子在磁场中做匀速圆周运动，运动轨迹如图所示
由几何知识得$r\cos60^{\circ}=h$，解得$r = 2h$
粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力
由牛顿第二定律得$qvB=\frac{mv^{2}}{r}$
解得粒子在磁场中做匀速圆周运动的速度大小$v=\frac{2qBh}{m}$。
(2)粒子在电场中做类平抛运动，粒子经过$y$轴的$Q$点时速度方向恰好与$y$轴垂直，则粒子到达$Q$点时沿电场方向的速度为零，则有垂直电场方向$r + r\sin60^{\circ}=v\cos60^{\circ}t_{1}$
沿电场方向$v\sin60^{\circ}=at_{1}$
$a=\frac{qE}{m}$
联立可得匀强电场的电场强度大小$E=\frac{(2\sqrt{3}-3)qB^{2}h}{m}$
粒子在第三象限电场中的运动时间为$t_{1}=\frac{(\sqrt{3}+2)m}{qB}$。
(3)粒子第一次在第二象限的磁场中运动的时间为$t_{2}$，如图示关系有$t_{2}=\frac{360^{\circ}-90^{\circ}-60^{\circ}}{360^{\circ}}T$
由$qvB=\frac{mv^{2}}{r}$，$T=\frac{2\pi r}{v}$得$T=\frac{2\pi m}{qB}$
又$t = 2(t_{1}+t_{2})$
解得$t=\frac{7\pi m}{3qB}+\frac{2(\sqrt{3}+2)m}{qB}$。