《2025年创新设计高考总复习物理人教版》

例3 (2022·河北卷，11)某实验小组利用铁架台、弹簧、钩码、打点计时器、刻度尺等器材验证系统机械能守恒定律，实验装置如图9所示。弹簧的劲度系数为k，原长为$L_{0}$，钩码的质量为m。已知弹簧的弹性势能表达式为$E=\frac{1}{2}kx^{2}$，其中k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量，当地的重力加速度大小为g。

(1)在弹性限度内将钩码缓慢下拉至某一位置，测得此时弹簧的长度为L。接通打点计时器电源。从静止释放钩码，弹簧收缩，得到了一条点迹清晰的纸带。钩码加速上升阶段的部分纸带如图10所示，纸带上相邻两点之间的时间间隔均为T(在误差允许范围内，认为释放钩码的同时打出A点)。从打出A点到打出F点时间内，弹簧的弹性势能减少量为______，钩码的动能增加量为______，钩码的重力势能增加量为______。

(2)利用计算机软件对实验数据进行处理，得到弹簧弹性势能减少量、钩码的机械能增加量分别与钩码上升高度h的关系，如图11所示。由图可知，随着h增加，两条曲线在纵向的间隔逐渐变大，主要原因是______________________。

答案：
(1)$k(L - L_{0})h_{5}-\frac{1}{2}kh_{5}^{2}$　$\frac{m(h_{6}-h_{4})^{2}}{8T^{2}}$　$mgh_{5}$　
(2)见解析
解析　
(1)从打出A点到打出F点时间内，弹簧的弹性势能减少量为$\Delta E_{p弹}=\frac{1}{2}k(L - L_{0})^{2}-\frac{1}{2}k(L - L_{0}-h_{5})^{2}$
整理有$\Delta E_{p弹}=k(L - L_{0})h_{5}-\frac{1}{2}kh_{5}^{2}$
打F点时钩码的速度为$v_{F}=\frac{h_{6}-h_{4}}{2T}$
由于在误差允许的范围内，认为释放钩码的同时打出A点，则钩码的动能增加量为$\Delta E_{k}=\frac{1}{2}mv_{F}^{2}-0=\frac{m(h_{6}-h_{4})^{2}}{8T^{2}}$
钩码的重力势能增加量为$\Delta E_{p重}=mgh_{5}$。
(2)钩码机械能的增加量，即钩码动能和重力势能增加量的总和，若无阻力做功则弹簧弹性势能的减少量等于钩码机械能的增加量。现在随着h增加，两条曲线在纵向的间隔逐渐变大，而两条曲线在纵向的间隔即阻力做的功，则产生这个问题的主要原因是钩码和纸带运动的速度逐渐增大，导致空气阻力逐渐增大，以至于空气阻力做的功也逐渐增大。

3. 某同学利用如图12所示的装置来研究机械能守恒问题，设计了如下实验。A、B是质量均为m的小物块，C是质量为M的重物，A、B间由轻弹簧相连，A、C间由轻绳相连，在物块B下放置一压力传感器，重物C下放置一速度传感器，压力传感器与速度传感器相连。当压力传感器示数为零时，就触发速度传感器测定此时重物C的速度。整个实验中弹簧均处于弹性限度内，重力加速度为g，实验操作如下：

①开始时，系统在外力作用下保持静止，细绳拉直但张力为零，现释放C，使其向下运动，当压力传感器示数为零时，触发速度传感器测出C的速度为v。
②在实验中保持A、B质量不变，改变C的质量M，多次重复第(1)步。
(1)该实验中，M和m大小关系必需满足M ______m(选填“小于”“等于”或“大于”)。
(2)每次测重物C的速度时，其已下降的高度应__________(选填“相同”或“不同”)。
(3)根据所测数据，为得到线性关系图线，应作出__________(选填“$v^{2}-M$”“$v^{2}-\frac{1}{M}$”或“$v^{2}-\frac{1}{M + m}$”)图线。
(4)根据(3)问的图线知，图线在纵轴上截距为b，斜率绝对值为a，则弹簧的劲度系数为______，A的质量为______(用题给的a、b、g表示)。

答案：
(1)大于　
(2)相同　
(3)$v^{2}-\frac{1}{M + m}$　
(4)$\frac{2ag^{2}}{b^{2}}$　$\frac{a}{2b}$
解析　
(1)要使压力传感器的示数为零，弹簧需从压缩状态变成伸长状态，因此重物C要能拉动物块A，所以M要大于m。
(2)开始弹簧处于压缩状态，有$F_{1}=k\Delta x_{1}=mg$，压力传感器示数为零时，弹簧的拉力为$F_{2}=k\Delta x_{2}=mg$
此时弹簧从压缩到伸长的变化量为$\Delta x=\Delta x_{1}+\Delta x_{2}=\frac{2mg}{k}$，则不论重物C质量是多少，要使压力传感器示数为零，A物块上升$\frac{2mg}{k}$，此时重物C下降$\frac{2mg}{k}$，即重物C下降的高度相同。
(3)取A、C及弹簧为一个系统，弹簧压缩和伸长前后形变量相同，则根据机械能守恒定律有$(M - m)g\times\frac{2mg}{k}=\frac{1}{2}(M + m)v^{2}$，整理得$v^{2}=-\frac{8m^{2}g^{2}}{k}\cdot\frac{1}{M + m}+\frac{4mg^{2}}{k}$，所以为得到线性关系图线，应作出$v^{2}-\frac{1}{M + m}$图线。
(4)根据上面表达式可得$\frac{8m^{2}g^{2}}{k}=a$，$\frac{4mg^{2}}{k}=b$
解得$k=\frac{2ag^{2}}{b^{2}}$，$m=\frac{a}{2b}$。