《2025年创新设计高考总复习物理人教版》

3.(多选)(2024·浙江温州联考)在某高塔顶层的墙外侧，以20 m/s的速度竖直上抛一个小石子(小石子可看成质点)，忽略空气阻力，当小石子运动到离抛出点15 m时，运动时间可能是（g取10 m/s²） （ ）
A.1 s B.3 s
$C.4 s D.(2 + \sqrt{7}) s$

答案： 3.ABD [小石子离抛出点最远的距离为$h_{m}=\frac{v_{0}^{2}}{2g}=20\ m$，当小石子运动到离抛出点上方15 m时，有$h = v_{0}t-\frac{1}{2}gt^{2}$，解得$t_{1}=1\ s$，$t_{2}=3\ s$，当小石子运动到离抛出点下方15 m时，有$-h = v_{0}t-\frac{1}{2}gt^{2}$，解得$t_{3}=(2+\sqrt{7})\ s$，$t_{4}=(2-\sqrt{7})\ s$(舍去)，故A、B、D正确。]

例3（2024·河北邢台联考）ETC是高速公路上不停车电子收费系统的简称。甲、乙两辆汽车分别通过ETC通道和人工收费通道（MTC）驶离高速公路，流程如图4所示。假设收费岛总长度d = 30 m，两辆汽车同时以相同的速度v₁ = 54 km/h经过距收费岛口x = 30 m处的减速带后，一起以相同的加速度做匀减速运动。甲车减速至v₂ = 18 km/h后，匀速行驶到中心线即可完成缴费，自动栏杆打开放行；乙车刚好到收费岛中心线收费窗口停下，经过t₀ = 15 s的时间缴费成功，人工栏杆打开放行。随后两辆汽车匀加速到v₃ = 90 km/h速度后沿直线匀速行驶，设两车加速过程和减速过程中的加速度大小相等，求：
(1)此次人工收费通道和ETC通道打开栏杆的时间差；
(2)两辆汽车驶离收费站后相距的最远距离。

答案： 例3
(1)16 s
(2)445 m
解析　由题意可知$v_{1}=54\ km/h = 15\ m/s$，$v_{2}=18\ km/h = 5\ m/s$，$v_{3}=90\ km/h = 25\ m/s$。
(1)乙车减速过程中，根据匀变速直线运动的规律，有
$v_{1}^{2}=2a(x+\frac{d}{2})$
可得乙车减速时的加速度大小为$a = 2.5\ m/s^{2}$
设甲车减速到$v_{2}$所用时间为$t_{1}$，则有$t_{1}=\frac{v_{1}-v_{2}}{a}=4\ s$
该段时间内甲车的位移为$x_{1}=\frac{v_{1}+v_{2}}{2}t_{1}=40\ m$
接下来做匀速运动，所用时间为$t_{2}=\frac{x+\frac{d}{2}-x_{1}}{v_{2}}=1\ s$
甲车从减速到打开栏杆的总时间为$t_{甲}=t_{1}+t_{2}=5\ s$
乙减速的时间为$t_{3}=\frac{v_{1}}{a}=6\ s$
乙车从减速到打开栏杆的总时间为$t_{乙}=t_{3}+t_{0}=21\ s$
人工收费通道和ETC通道打开栏杆放行的时间差
$\Delta t=t_{乙}-t_{甲}=16\ s$。
(2)乙车与甲车速度相等时两车相距最远。乙车通过中心线后加速的时间为$t_{4}=\frac{v_{3}}{a}=10\ s$
乙车加速的距离为$x_{2}=\frac{1}{2}at_{4}^{2}=125\ m$
甲车加速的时间为$t_{5}=\frac{v_{3}-v_{2}}{a}=8\ s$
甲车加速的距离为$x_{3}=\frac{v_{3}^{2}-v_{2}^{2}}{2a}=120\ m$
接下来甲匀速的时间为$t_{6}=\Delta t+t_{4}-t_{5}=18\ s$
甲车匀速运动的距离为$x_{4}=v_{3}t_{6}=450\ m$
因此，两车最远距离为$\Delta x=x_{3}+x_{4}-x_{2}=445\ m$。